Pierścień wielomianów

Pierścień wielomianów – pierścień określony na zbiorze wielomianów jednej lub więcej zmiennych o współczynnikach z ustalonego pierścienia. Pierścienie wielomianów stanowiły inspirację do rozwoju wielu działów matematyki, począwszy od twierdzenia Hilberta o bazie, przez konstrukcję ciał rozdzielczych, po rozumienie operatora liniowego. Wiele ważnych hipotez, takich jak hipoteza Serre'a, wpłynęło na badania nad innymi rodzajami pierścieni, a nawet było źródłem nowych definicji pierścieni, takich jak pierścienie grupowe, czy pierścienie szeregów formalnych.

Wielomiany jednej zmiennej

Wielomiany

Wprowadzenie do wielomianów jednej zmiennej można znaleźć w artykule o wielomianach.

Niech dany będzie dowolny pierścień z jedynką ${\displaystyle R}$ oraz symbol ${\displaystyle X,}$ nazywany zmienną, oraz jego potęgi, czyli symbole postaci ${\displaystyle X^{k},}$ gdzie ${\displaystyle k}$ jest nieujemną liczbą całkowitą. Wielomianem zmiennej ${\displaystyle X}$ nad ${\displaystyle R}$ nazywa się wyrażenie postaci

${\displaystyle \mathrm {p} =\sum _{k=0}^{n}a_{k}X^{k},}$

gdzie elementy ${\displaystyle a_{k}\in R}$ nazywa się współczynnikami tego wielomianu.

Przyjmując zwyczajowo ${\displaystyle X^{1}=X}$ oraz ${\displaystyle X^{0}=1}$ powyższe można zapisać jako kombinację liniową

${\displaystyle \mathrm {p} =a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}.}$

Wyrażenia postaci ${\displaystyle a_{k}X^{k}}$ nazywa się wyrazami, wyraz ${\displaystyle a_{0}}$ często określa się mianem wyrazu wolnego. Dowolny wyraz ${\displaystyle a_{k}X^{k}}$ o zerowym współczynniku, ${\displaystyle a_{k}=0,}$ zwykle się pomija.

Dwa wielomiany uważa się za równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające sobie współczynniki przy każdej potędze ${\displaystyle X}$ są sobie równe. Stopniem wielomianu nazywa się największe takie ${\displaystyle k,}$ dla którego współczynnik przy ${\displaystyle X^{k}}$ jest niezerowy. W przypadku wielomianu zerowego stopień jest niezdefiniowany lub, z racji pożądanych własności algebraicznych tego symbolu, przyjmuje się oznaczenie ${\displaystyle -\infty .}$

Pierścień wielomianów

Sumy powyższej postaci można dodawać i mnożyć zgodnie ze zwykłymi regułami operowania na wyrażeniach algebraicznych takich jak łączność, przemienność (w odpowiednim przypadku), rozdzielność i łączenie wyrazów podobnych z zachowaniem tożsamości ${\displaystyle X^{k}X^{l}=X^{k+l}}$ dla dowolnych nieujemnych liczb całkowitych ${\displaystyle k,l.}$ Działania dodawania i mnożenia dane explicite odpowiednio wzorami^[a]

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})X^{i}}$

oraz

${\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{i+j=k}a_{i}b_{j}\right)X^{k}.}$

Ponieważ tylko skończenie wiele współczynników ${\displaystyle a_{i}}$ oraz ${\displaystyle b_{j}}$ jest niezerowych, to wszystkie sumy mają skończenie wiele wyrazów, przez co reprezentują one wielomiany z ${\displaystyle R[X],}$ co oznacza, że powyższe działania są poprawnie określone.

Zbiór wszystkich wielomianów zmiennej ${\displaystyle X}$ o współczynnikach z pierścienia ${\displaystyle R}$ tworzy wraz z wyżej zdefiniowanymi działaniami pierścień przemienny, oznaczany symbolem ${\displaystyle R[X]}$ nazywany pierścieniem wielomianów zmiennej ${\displaystyle X}$ nad pierścieniem ${\displaystyle R.}$ Terminologia ma swoje źródło w ważnych przypadkach wielomianów o współczynnikach rzeczywistych czy zespolonych, które mogą być postrzegane jako rzeczywiste bądź zespolone funkcje wielomianowe. W ogólności jednak znak ${\displaystyle X}$ oraz jego potęgi ${\displaystyle X^{k}}$ traktuje się jako symbole formalne, spoza pierścienia ${\displaystyle R.}$ O pierścieniu ${\displaystyle R[X]}$ można myśleć jako o pierścieniu powstałym z ${\displaystyle R}$ przez dodanie do niego nowego, zewnętrznego w stosunku do tego pierścienia, elementu ${\displaystyle X}$ oraz wszystkich jego potęg, co gwarantuje, że ${\displaystyle R[X]}$ będzie tworzyć pierścień; prowadzi to wprost do definicji wielomianów jako kombinacji liniowych potęg ${\displaystyle X}$ o współczynnikach z ${\displaystyle R.}$

Konstrukcja

Powyższe spojrzenie wyrosło na bazie klasycznej postaci wielomianów. Formalnie wielomian o współczynnikach z pierścienia ${\displaystyle R}$ definiuje się jako nieskończony ciąg jego elementów, w którym tylko skończenie wiele wyrazów jest różnych od zera.

Dla ciągów

${\displaystyle \mathrm {p} =(a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},0,0,\dots )}$

oraz

${\displaystyle \mathrm {q} =(b_{0},b_{1},b_{2},\dots ,b_{m},0,0,\dots )}$

można określić działanie dodawania po składowych, mnożenie dane jest zaś za pomocą splotu, odpowiednio:

${\displaystyle \mathrm {p} +\mathrm {q} =(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\dots ),}$

${\displaystyle \mathrm {p} \cdot \mathrm {q} =(a_{0}b_{0},a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0},a_{2}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{0}b_{2},\dots ),}$

co czyni ze zbioru ${\displaystyle R[X]}$ wszystkich wielomianów jednej zmiennej nad ${\displaystyle R}$ pierścień z jedynką nazywany pierścieniem wielomianów.

Wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość ciągów z wyrażeniami formalnymi wynika z utożsamień

${\displaystyle (0,0,0,0,\dots )=\mathrm {0} ,}$

${\displaystyle (1,0,0,0,\dots )=X^{0}=\mathrm {1} ,}$

${\displaystyle (0,1,0,0,\dots )=X^{1}=X,}$

${\displaystyle (0,0,1,0,\dots )=X^{2}}$ itd.,

przy czym dwa pierwsze elementy są elementami neutralnymi odpowiednio dodawania i mnożenia.

Własności

• Jeżeli ${\displaystyle R}$ jest przemienny, to ${\displaystyle R[X]}$ również.
• Jeżeli ${\displaystyle R}$ jest pierścieniem z jedynką, to ${\displaystyle R[X]}$ również ją ma – jest to wielomian ${\displaystyle (1,0,0,\dots ).}$
• Jeżeli ${\displaystyle R}$ nie zawiera dzielników zera, to ${\displaystyle R[X]}$ również.
• Jeżeli ${\displaystyle R}$ jest pierścieniem całkowitym, to ${\displaystyle R[X]}$ również.
• Jeżeli ${\displaystyle R}$ jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, to ${\displaystyle R[X]}$ również (twierdzenie Gaussa).
• Jeżeli ${\displaystyle R}$ jest pierścieniem noetherowskim, to ${\displaystyle R[X]}$ również (twierdzenie Hilberta o bazie).
• Jeżeli ${\displaystyle R}$ jest ciałem, to ${\displaystyle R[X]}$ jest pierścieniem euklidesowym.
• Pierścień ${\displaystyle R[X]}$ nie może być ciałem, gdyż element ${\displaystyle X}$ nie jest odwracalny.

Funkcja wielomianowa

Wartością wielomianu

${\displaystyle \mathrm {p} =a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots +a_{1}X+a_{0}\in R[X]}$

w punkcie ${\displaystyle r\in R}$ nazywa się element

${\displaystyle \mathrm {p} (r)=a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\ldots +a_{1}r+a_{0}\in R.}$

Przyporządkowanie ${\displaystyle p_{r}}$ dane wzorem ${\displaystyle \mathrm {p} \mapsto \mathrm {p} (r)}$ nazywa się ewaluacją wielomianu ${\displaystyle \mathrm {p} }$ w punkcie ${\displaystyle r.}$ Pierwiastkami wielomianu ${\displaystyle \mathrm {p} }$ nazywa się wszystkie te elementy ${\displaystyle r,}$ dla których wartość wielomianu jest równa zeru.

Funkcją wielomianową nazywa się przekształcenie ${\displaystyle p\colon R\to R}$ dane wzorem ${\displaystyle r\mapsto \mathrm {p} (r),}$ które przyporządkowuje każdemu elementowi pierścienia ${\displaystyle R}$ jego wartość, co można zapisać wzorem

${\displaystyle p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0},}$

gdzie ${\displaystyle x\in R.}$

Przekształcenie przyporządkowujące każdemu wielomianowi ${\displaystyle \mathrm {p} }$ jego funkcję wielomianową ${\displaystyle p}$ oraz przekształcenie ${\displaystyle p_{r}}$ są homomorfizmami pierścieni. Jądro homomorfizmu ${\displaystyle p_{r}}$ stanowią wielomiany, dla których ${\displaystyle r}$ jest pierwiastkiem (z twierdzenia Bézouta – podzielne przez ${\displaystyle X-r}$).

W analizie matematycznej pojęć wielomianu i funkcji wielomianowej używa zamiennie. Jednak w algebrze zwykle jest to niedopuszczalne, gdyż różnym wielomianom mogą odpowiadać te same funkcje wielomianowe, np. w pierścieniu Z₂ funkcje ${\displaystyle x^{2}}$ i ${\displaystyle x}$ są identyczne, gdyż ${\displaystyle 0^{2}=0}$ oraz ${\displaystyle 1^{2}=1.}$ W pierścieniu nieskończonym bez dzielników zera każda funkcja wielomianowa wyznacza jednoznacznie wielomian.

Pochodna wielomianu

 Osobny artykuł: pochodna wielomianu.

Pochodną wielomianu określa się wzorem

${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}X^{k}\right)'=\sum _{k=1}^{n}ka_{k}X^{k-1}.}$

W szczególności pochodną wielomianu stałego jest wielomian zerowy.

Definicja ta nie zależy od analitycznych własności pierścienia ${\displaystyle R,}$ tj. różniczkowanie wielomianów może być określone, np. w pierścieniu klas reszt modulo n, gdzie branie granicy nie ma sensu. Tak określona pochodna ma następujące własności:

${\displaystyle (f+g)'=f'+g',}$

${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'.}$

Za pomocą indukcji matematycznej można określić ${\displaystyle k}$-tą pochodną wielomianu:

${\displaystyle {\begin{cases}f^{(0)}&=f,\\f^{(k)}&=(f^{(k-1)})'.\end{cases}}}$

Teoria podzielności

Wielomian ${\displaystyle f\in R[X]}$ nazywa się wielomianem nierozkładalnym w ${\displaystyle R[X],}$ gdy nie można przedstawić go w postaci iloczynu wielomianów dodatniego stopnia.

Kryterium Eisensteina pozwala udowodnić nierozkładalność wielomianu o współczynnikach z pierścienia z jednoznacznością rozkładu.

Uogólnienia

Określone powyżej pojęcie wielomianu można uogólnić:

• na funkcje wymierne – ciało ułamków pierścienia całkowitego ${\displaystyle R[X]}$ oznacza się przez ${\displaystyle R(X)}$ i nazywa ciałem funkcji wymiernych;
• na większą liczbę zmiennych (patrz niżej);
• usuwając założenie o skończoności liczby wyrazów; tak określony pierścień nazywa się pierścieniem szeregów formalnych, oznaczany jest ${\displaystyle R[\![X]\!].}$

Wielomiany wielu zmiennych

Pierścień wielomianów ${\displaystyle R[X][Y]}$ nad pierścieniem wielomianów ${\displaystyle R[X]}$ nad pierścieniem ${\displaystyle R}$ nazywa się pierścieniem wielomianów zmiennych ${\displaystyle X,Y}$ nad pierścieniem ${\displaystyle R}$ i oznacza ${\displaystyle R[X,Y].}$ Używając indukcji matematycznej można określić pierścień wielomianów ${\displaystyle n}$ zmiennych^[b] wzorem

${\displaystyle P[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]=R[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n-1}][X_{n}].}$

Wielomian dwóch zmiennych można zapisać w postaci ${\displaystyle \sum _{i,j=0}^{n}a_{ij}X^{i}Y^{j}.}$ Ogólniej, każdy wielomian ${\displaystyle n}$ zmiennych w postaci

${\displaystyle \sum _{(k_{1},k_{2},\dots ,k_{n})\in A}~a_{k_{1},k_{2},\dots ,k_{n}}\prod _{i=1}^{n}X_{i}^{k_{i}},}$

gdzie ${\displaystyle A\subset \mathbb {N} _{0}^{n}}$ jest zbiorem skończonym.

Wielomiany symetryczne

Mając dany wielomian ${\displaystyle \mathrm {f} \in R[X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]}$ można dokonać na nim permutacji zmiennych ${\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}1&2&\ldots &n\\\pi _{1}&\pi _{2}&\dots &\pi _{n}\end{pmatrix}}}$ otrzymując nowy wielomian:

${\displaystyle \mathrm {g} (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\mathrm {f} (X_{\pi _{1}},X_{\pi _{2}},\dots ,X_{\pi _{n}}).}$

Jeżeli wielomian nie zmienia się po tej operacji, to nazywa się go niezmienniczym względem permutacji ${\displaystyle \pi }$ lub też mówi się, że permutacja nie zmienia wielomianu ${\displaystyle \mathrm {f} .}$ Przykład: wielomian ${\displaystyle x+y-z}$ nie zmienia się po zamianie zmiennych ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y.}$

Można udowodnić, że zbiór wszystkich permutacji nie zmieniających wielomianu wraz z działaniem składania permutacji tworzy grupę, zwaną grupą symetrii wielomianu.

Wielomianem symetrycznym nazywa się wielomian, który nie zmienia się po dowolnej permutacji zmiennych; innymi słowy, jest to wielomian którego grupa symetrii jest równa ${\displaystyle S_{n}.}$ Przykładem mogą być wielomiany

${\displaystyle X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}}$

${\displaystyle X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{4}+X_{1}X_{3}X_{4}+X_{2}X_{3}X_{4}.}$

Wielomianami symetrycznymi podstawowymi ${\displaystyle n}$ zmiennych nazywa się wielomiany

${\displaystyle \mathrm {p} _{1}=X_{1}+X_{2}+X_{3}+\ldots +X_{n},}$

${\displaystyle \mathrm {p} _{2}=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+\ldots +X_{n-1}X_{n},}$

${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle \mathrm {p} _{n}=X_{1}X_{2}\dots X_{n}.}$

Zgodnie z zasadniczym twierdzeniem o wielomianach symetrycznych, każdy wielomian symetryczny ${\displaystyle n}$ zmiennych można przedstawić w postaci złożenia wielomianu i wielomianów symetrycznych podstawowych, tj. dla każdego wielomianu symetrycznego ${\displaystyle \mathrm {f} }$ istnieje taki wielomian ${\displaystyle \mathrm {g} ,}$ że:

${\displaystyle \mathrm {f} (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=\mathrm {g} (\mathrm {p} _{1},\mathrm {p} _{2},\dots ,\mathrm {p} _{n}).}$

Takie przyporządkowanie jest izomorfizmem pierścienia wielomianów na pierścień wielomianów symetrycznych.

Zobacz też

• element algebraiczny

Uwagi