Funkcja wielu zmiennych

Wykresy funkcji 1 i 2 zmiennych (kolor fioletowy). Dziedziny zaznaczono na czerwono.

Funkcja wielu zmiennych – dwuznaczne pojęcie matematyczne:

• w sensie szerokim jest to każda funkcja ${\displaystyle f\colon X\to Y,}$ której dziedziną ${\displaystyle X}$ jest podzbiór iloczynu kartezjańskiego co najmniej dwóch zbiorów, tzn. ${\displaystyle X\subseteq X_{1}\times \ldots \times X_{n};}$
• w sensie wąskim jest to każda funkcja rzeczywista, której argumenty to co najmniej dwie liczby^[1].

Częstym przykładem są zmienne rzeczywiste, tzn. ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} _{1}\times \ldots \times \mathbb {R} _{n}=\mathbb {R} ^{n};}$ elementy dziedziny są wektorami ${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}].}$ Przeciwdziedzina ${\displaystyle Y}$ funkcji może być przestrzenią liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ lub ogólnie – przestrzenią wielowymiarową ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m};}$ w tym ogólnym przypadku wartościami funkcji są wektory ${\displaystyle \mathbf {y} =[y_{1},y_{2},\dots ,y_{m}].}$

Wiele podstawowych funkcji rozpatrywanych np. w matematyce, fizyce, chemii, biologii, ekonomii, inżynierii itp. jest funkcjami wielu zmiennych.

Zapis funkcji wielu zmiennych

Funkcję ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ zależną od zmiennych postaci ${\displaystyle \mathbf {x} =[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]}$ zwykle zapisuje się pomijając nawiasy wewnętrzne, czyli pisze się ${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}$ zamiast ${\displaystyle f([x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]).}$

W przypadku mniejszej liczby zmiennych zamiast oznaczeń ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ stosuje się oznaczenia ${\displaystyle x_{1}\equiv x,}$ ${\displaystyle x_{2}\equiv y,}$ ${\displaystyle x_{3}\equiv z.}$

Często w zapisie funkcji wielu zmiennych nie podaje się jawnie zmiennych, domyślnie przyjmując, iż wszystkie literały oznaczają zmienne z wyjątkiem uznanych powszechnie za stałe, np. fizyczne lub matematyczne. Np. wzór na objętość walca obrotowego ${\displaystyle V(r,h)=\pi r^{2}h}$ jest funkcją dwóch zmiennych ${\displaystyle r,h}$ (gdzie ${\displaystyle r}$ – promień podstawy, ${\displaystyle h}$ – wysokość walca); w skrócie funkcję tę zapisuje się w postaci ${\displaystyle V=\pi r^{2}h.}$

Przykłady 1

Przykładowe funkcje wielu zmiennych:

• ${\displaystyle f(x,y)=\sin(xy^{2})}$
• ${\displaystyle f(x,y,z)=x^{3}y-xyz+y\sin ^{2}z^{3}-x}$
• ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})={\sqrt {x_{1}^{2}+\ldots +x_{1}^{n}}}}$ – długość wektora w przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• ${\displaystyle f(x,y,z,t)=x+y+z+t}$
• ${\displaystyle f(x,y)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{t}}\sin(t\cdot xy^{2})dt}$
• ${\displaystyle U(R,I)=IR}$ – napięcie na oporniku jako funkcja oporu ${\displaystyle R}$ i natężenia ${\displaystyle I}$ prądu (według prawa Ohma)

Przykłady 2

• W matematyce elementarnej podstawowe działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie) – to funkcje dwóch zmiennych.
• W mechanice klasycznej wektor położenia układu w przestrzeni konfiguracyjnej jest funkcją czasu, przy czym liczba elementów wektora położenia jest równa liczbie stopni swobody układu. Np. w przypadku jednej cząstki poruszającej się swobodnie w przestrzeni wektor ten ma 3 składowe, a dla N takich cząstek wektor ten ma 3N składowych.
• W mechanice kwantowej stan układu opisuje funkcja falowa mająca wartości w zbiorze liczb zespolonych, która zależny od takiej liczby współrzędnych, jaka byłaby potrzebna do opisania układu w mechanice klasycznej, jeżeli przy tym nie uwzględnia się spinu cząstek; jeżeli zaś trzeba uwzględnić spin, to wartości funkcji falowej tworzą wektor mający tyle elementów, ile stanów spinowych może mieć układ^[2].

Zobacz też

• pochodna cząstkowa
• równanie różniczkowe

Przypisy

Bibliografia

• W. Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Multivariate Function, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-12-21].