Anello degli endomorfismi

In matematica, gli endomorfismi di un gruppo abeliano G formano un anello. Questa struttura algebrica viene detta anello degli endomorfismi (abbr: ER) di G, con la notazione (End(G), ∘, + ); dove End(G) è l'insieme degli omomorfismi biunivochi di G in sè ed ha struttura di monoide con notazione (End(G), ∘ , id ). L'addizione di endomorfismi si effettua in modo punto-punto e la moltiplicazione tramite composizione di endomorfismi. Utilizzando queste operazioni, l'insieme degli endomorfismi di un gruppo abeliano forma un anello unitario, con l'endomorfismo zero ${\textstyle 0_{\operatorname {End} (G)}}$ come neutro additivo e la funzione identità ${\textstyle \operatorname {id} =1_{\operatorname {End} (G)}}$ come neutro moltiplicativo.^[1][2]

Le funzioni coinvolte sono limitate a ciò che nel contesto viene definito omomorfismo, cioè dipende dalla categoria dell'oggetto in esame. L'anello degli endomorfismi di conseguenza indica diverse proprietà interne dell'oggetto. Spesso l'oggetto risultante è un'algebra su qualche anello R, questa può anche essere chiamata algebra dell'endomorfismo.

Un gruppo abeliano è isomorfo alla struttura algebrica di un modulo sull'anello degli interi ℤ, che è l'oggetto iniziale nella categoria degli anelli. In modo simile, se R è un anello commutativo, allora è isomorfa (stessi assiomi e derivazione) agli endomorfismi di un R-modulo e formano un'algebra su R. In particolare, se R è un campo, i suoi moduli M sono gli spazi vettorial e l'anello degli endmorfismi di ogni modulo è un'algebra su campo R.

Definizione

Sia (G, +) un gruppo abeliano con operazione + e consideriamo l'insieme degli omomorfismi da G a G. Cioè

${\displaystyle \operatorname {End} (G)=\{\varphi :G\rightarrow G\ |\ \varphi (x\circ y)=\varphi (x)\circ \varphi (y),\quad \forall x,y\in G\}}$

tale insieme con l'operazione binaria di composizione ha struttura algebrica di monoide, cioè un semigruppo con identità:

• operazione interna

${\displaystyle {\begin{aligned}\varrho \circ \varphi :G&\longrightarrow G\ \qquad \forall \varrho ,\varphi \in \operatorname {End} (G)\\g&\longmapsto \varphi \left(\varrho (g)\right)\\\end{aligned}}}$

• associativa

${\displaystyle (\varrho \circ \varphi )\circ \varsigma =\varrho \circ (\varphi \circ \varsigma )\qquad \forall \varrho ,\varphi ,\varsigma \in \operatorname {End} (G)}$

• endomorfismo neutro rispetto ∘ o identità

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {id} ={\operatorname {1} }_{\operatorname {End} (G)}\ :G&\longrightarrow G\ \\g&\longmapsto g\\\end{aligned}}}$

che si denota con ${\displaystyle \left(\operatorname {End} (G),\ \circ ,\ \operatorname {id} \right)}$. Un endomorfismo invertibile viene detto automorfismo. Quindi ${\displaystyle \operatorname {Aut} (G)\ \subseteq \ \operatorname {End} (G).}$ Essendo G abeliano, definiamo una seconda operazione detta addizione di due di questi omomorfismi puntualmente per produrre un altro omomorfismo di gruppo. Esplicitamente:

• operazione interna

${\displaystyle {\begin{aligned}\varrho \ +\varphi \ :G&\longrightarrow G\ \qquad \forall \varrho ,\varphi \in \operatorname {End} (G)\\g&\longmapsto (\varrho \ +\ \varphi )(g)=\varrho (g)+\ \varphi (g)\\g&\longmapsto (g)(\varrho \ +\ \varphi )=(g)\varrho +\ (g)\varphi \\\end{aligned}}}$

dove abbiamo utilizzato le due notazioni possibili. Anche se sembra più naturale, generalmente scrivere le nostre funzioni con la notazione destra nelle situazioni in cui l'operazione ha maggiore importanza.

• associativa

${\displaystyle (\varrho +\varphi )+\varsigma =\varrho +(\varphi +\varsigma )\qquad \forall \varrho ,\varphi ,\varsigma \in \operatorname {End} (G)}$

• commutativa

${\displaystyle \varrho +\varphi =\varphi +\varrho \qquad \forall \varrho ,\varphi \in \operatorname {End} (G)}$

• endomorfismo neutro rispetto +

${\displaystyle {\begin{aligned}{\operatorname {0} }_{\operatorname {End} (G)}\ :G&\longrightarrow G\ \\g&\longmapsto e_{G}\\\end{aligned}}}$

• endomorfismo opposto

${\displaystyle \exists '\quad \varphi ^{-1}\ :G\longrightarrow G\ \qquad \varphi ^{-1}+\varphi =\varphi +\varphi ^{-1}={\operatorname {0} }_{\operatorname {End} (G)}}$

Sotto questa operazione End(G) ha struttura algebrica di gruppo abeliano. Insieme all'operazione di composizione, End(A) ha la struttura algebrica di anello con elemento neutro nella composizione o anello unitario di endomorfismi in G. Cioè gli assiomi:

• Gruppo abeliano ${\displaystyle {\left(\operatorname {End} (G),+\right)}_{A}}$
• Monoide ${\displaystyle \left(\operatorname {End} (G),\ \circ ,\ \operatorname {id} \right)}$
• Distributività destra e sinistra

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \circ (\varrho +\varsigma )&=\varphi \circ \varrho +\varphi \circ \varsigma \qquad \forall \varrho ,\varphi ,\varsigma \in \operatorname {End} (G)\\(\varrho +\varsigma )\circ \varphi &=\varrho \circ \varphi +\varsigma \circ \varphi \\\end{aligned}}}$

Se l'insieme G non è un gruppo abeliano, allora la costruzione di cui sopra non è necessariamente additiva, cioè la somma di due omomorfismi non necessariamente è un omomorfismo.^[3] Questo insieme di endomorfismi è un esempio canonico di un quasi-anello che non è un anello.

Proprietà

• Gli anelli di endomorfismi hanno sempre l'elemento neutro per le due operazioni di addizione e moltiplicazione, rispettivamente sono la trasformazione zero e quella di identità, in notazione:

  ${\displaystyle {\begin{aligned}0_{\operatorname {End} (G)}&:x\mapsto 0_{G}\\1_{\operatorname {End} (G)}&:x\mapsto x\\\end{aligned}}}$

  dove ${\displaystyle 0_{G}}$ è l'elemento neutro del gruppo ${\displaystyle \left(G,\ +\right)}$.

• Sono associativi, ma di solito non-commutativi.
• Se un modulo è semplice, allora il suo ER viene detto anello di divisione (anche detto lemma di Schur).^[4]
• Un modulo è incomponibile se e solo se il suo ER non contiene elementi idempotenti non banali.^[5] Se il modulo è iniettivo, allora l'essere incomponibile equivale a dire che l'ER è un anello locale.^[6]
• Per un modulo semisemplice, l'ER è un anello regolare di von Neumann.
• L'ER di un modulo uniseriale destro non nullo ha uno o due ideali destri massimi. Se il modulo è Artiniano, Noetheriano, proiettivo o iniettivo, allora l'ER ha un unico ideale massimale, quindi è un anello locale.
• L'ER di un modulo uniforme Artiniano è un anello locale.^[7]
• L'ER di un modulo con lunghezza di composizione finita è un anello semiprimario.
• L'ER di un modulo continuo o discreto è un anello pulito.^[8]
• Se un R modulo è generato finitamente e proiettivo (cioè un progeneratore), allora l'ER del modulo ed R hanno tutti proprietà d'invarianza di Morita. Un risultato importante della teoria di Morita è che tutti gli anelli equivalenti a R nascono come anelli di endomorfismo dei progeneratori.

Esempi

• Nella categoria degli R-moduli, l'ER di un R-modulo M utilizzerà solo l'R-Omomorfismo di moduli, che sono tipicamente un sottoinsieme proprio degli omomorfismi del gruppo abeliano.^{[postille 1]}Se M è un modulo proiettivo con generatori finiti, l'ER è centrale quando si considera l'equivalenza di Morita nella categoria dei moduli.

• Se ${\displaystyle A}$ è un gruppo abeliano, si ha un isomorfismo del tipo

  ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\operatorname {End} (A))\cong \operatorname {End} (A^{n})}$

  poiché qualsiasi matrice in ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\operatorname {End} (A))}$ conserva una struttura di omomorfismo naturale di ${\displaystyle A^{n}}$ come segue:

  ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi _{11}&\cdots &\varphi _{1n}\\\vdots &&\vdots \\\varphi _{n1}&\cdots &\varphi _{nn}\end{pmatrix}}\ {\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\ =\ {\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{n}\varphi _{1i}(a_{i})\\\vdots \\\sum _{i=1}^{n}\varphi _{ni}(a_{i})\end{pmatrix}}.}$

È possibile utilizzare questo isomorfismo per costruire ER non commutativi. Per esempio:

${\displaystyle \operatorname {End} (\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} )\cong \mathrm {M} _{2}(\mathbb {Z} )}$, essendovi ${\displaystyle \operatorname {End} (\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$.

Inoltre, quando R è un campo (${\displaystyle R=K}$), esiste un isomorfismo canonico ${\displaystyle \operatorname {End} (K)\cong K}$, tale che ${\displaystyle \operatorname {End} (K^{n})\cong \mathrm {M} _{n}(K)}$, cioè, l'ER di un ${\displaystyle K}$-spazio vettoriale coincide con l'anello delle matrici n * n i cui elementi stanno in ${\displaystyle K}$.^[9] Più in generale, l'algebra dell'endomorfismo del modulo libero ${\displaystyle M=R^{n}}$ coincide in modo naturale con le matrici ${\displaystyle n}$*${\displaystyle n}$ i cui elementi stanno nell'anello ${\displaystyle R}$.

• Come esempio particolare dell'ultimo punto, per qualsiasi anello R con unità, si considera End(R_R) = R, dove gli elementi di R agiscono su R tramite moltiplicazione sinistra.

• In genere, l'ER può essere definito per gli oggetti di qualsiasi categoria pre-additiva.

Note

Postille

Bibliografia

• (EN) John B. Fraleigh, A First Course In Abstract Algebra, 2ª ed., Reading, Berkshire, UK, Addison-Wesley, 1976, ISBN 0-201-01984-1.
• (EN) Donald S. Passman, A Course in Ring Theory, Pacific Grove, Wadsworth & Brooks/Cole, 1991, ISBN 0-534-13776-8.
• (EN) Dummit, D.S., Foote, R.M., Abstract Algebra, Wiley, 2003, ISBN 9780471433347.
• (EN) L.V. Kuz'min, Endomorphism ring, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Jacobson Nathan, Basic algebra, 2ª ed., Dover, 2009, ISBN 978-0-486-47187-7.
• (EN) Wisbauer Robert, Foundations of module and ring theory, in Algebra, Logic and Applications - III, (Riveduta e tradotta dal tedesco nel 1988.), Philadelphia, PA, Gordon and Breach Science Publishers, 1991, pp. xii+606, ISBN 2-88124-805-5.
• (EN) Camillo V. P.; Khurana D.; Lam T. Y.; Nicholson W. K.; Zhou Y., Continuous modules are clean, in J. Algebra, vol. 304, n. 1, 2006, pp. 94-111, DOI:10.1016/j.jalgebra.2006.06.032.
• (EN) Yu. A. Drozd; V. V. Kirichenko, Finite Dimensional Algebras, Berlino, DE, Springer-Verlag, 1994, ISBN isbn=3-540-53380-X.

V · D · M Algebra
Numeri	Naturali · Interi · Razionali · Irrazionali · Algebrici · Trascendenti · Reali · Complessi · Numero ipercomplesso · Numero p-adico · Duali · Complessi iperbolici
Principi fondamentali	Principio d'induzione · Principio del buon ordinamento · Relazione di equivalenza · Relazione d'ordine · Associatività della potenza
Algebra elementare	Equazione · Disequazione · Polinomio · Triangolo di Tartaglia · Teorema binomiale · Teorema del resto · Lemma di Gauss · Teorema delle radici razionali · Regola di Ruffini · Criterio di Eisenstein · Criterio di Cartesio · Disequazione con il valore assoluto · Segno · Metodo di Gauss-Seidel · Polinomio simmetrico · Funzione simmetrica
Elementi di Calcolo combinatorio	Fattoriale · Permutazione · Disposizione · Combinazione · Dismutazione · Principio di inclusione-esclusione
Concetti fondamentali di Teoria dei numeri	Primi Numero primo · Teorema dell'infinità dei numeri primi · Crivello di Eratostene · Crivello di Atkin · Test di primalità · Teorema fondamentale dell'aritmetica Divisori Interi coprimi · Identità di Bézout · MCD · mcm · Algoritmo di Euclide · Algoritmo esteso di Euclide · Criteri di divisibilità · Divisore Aritmetica modulare Teorema cinese del resto · Piccolo teorema di Fermat · Teorema di Eulero · Funzione φ di Eulero · Teorema di Wilson · Reciprocità quadratica
Teoria dei gruppi	Gruppi Gruppo (finito · ciclico · abeliano) · Gruppo primario · Gruppo quoziente · Gruppo nilpotente · Gruppo risolubile · Gruppo simmetrico · Gruppo diedrale · Gruppo semplice · Gruppo sporadico · Gruppo mostro · Gruppo di Klein · Gruppo dei quaternioni · Gruppo generale lineare · Gruppo ortogonale · Gruppo unitario · Gruppo unitario speciale · Gruppo residualmente finito · Gruppo spaziale · Gruppo profinito · Out(Fn) · Parola · Prodotto diretto · Prodotto semidiretto · Prodotto intrecciato Teoremi Alternativa di Tits · Teorema di isomorfismo · Teorema di Lagrange · Teorema di Cauchy · Teoremi di Sylow · Teorema di Cayley · Teorema di struttura dei gruppi abeliani finiti · Lemma della farfalla · Lemma del ping-pong · Classificazione dei gruppi semplici finiti Sottoinsiemi Sottogruppo · Sottogruppo normale · Sottogruppo caratteristico · Sottogruppo di Frattini · Sottogruppo di torsione · Classe laterale · Classe di coniugio · Serie di composizione Omomorfismo · Isomorfismo · Automorfismo interno · Automorfismo esterno · Permutazione · Presentazione di un gruppo · Azione di gruppo
Teoria degli anelli	Anello (artiniano · noetheriano · locale) · Caratteristica · Ideale (primo · massimale) · Dominio (a fattorizzazione unica · a ideali principali · euclideo) · Matrice · Anello semplice · Anello degli endomorfismi · Teorema di Artin-Wedderburn · Modulo · Dominio di Dedekind · Estensione di anelli · Teorema della base di Hilbert · Anello di Gorenstein · Base di Gröbner · Prodotto tensoriale · Primo associato
Teoria dei campi	Campo · Polinomio irriducibile · Polinomio ciclotomico · Teorema fondamentale dell'algebra · Campo finito · Automorfismo · Endomorfismo di Frobenius Estensioni Campo di spezzamento · Estensione di campi · Estensione algebrica · Estensione separabile · Chiusura algebrica · Campo di numeri · Estensione normale · Estensione di Galois · Estensione abeliana · Estensione ciclotomica · Teoria di Kummer Teoria di Galois Gruppo di Galois · Teoria di Galois · Teorema fondamentale della teoria di Galois · Teorema di Abel-Ruffini · Costruzioni con riga e compasso
Altre strutture algebriche	Magma · Semigruppo · Corpo · Spazio vettoriale · Algebra su campo · Algebra di Lie · Algebra differenziale · Algebra di Clifford · Gruppo topologico · Gruppo ordinato · Quasi-anello · Algebra di Boole
argomenti	Teoria delle categorie · Algebra lineare · Algebra commutativa · Algebra omologica · Algebra astratta · Algebra computazionale · Algebra differenziale · Algebra universale

Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica