Gruppo ortogonale

In matematica, il gruppo ortogonale di grado n {\displaystyle n} su un campo K {\displaystyle K} è il gruppo delle matrici ortogonali n × n {\displaystyle n\times n} a valori in K {\displaystyle K} . Si indica con O ( n , K ) {\displaystyle \mathrm {O} (n,K)} o, se il campo è chiaro dal contesto, semplicemente con O ( n ) {\displaystyle \mathrm {O} (n)} .

Quando K {\displaystyle K} è il campo dei numeri reali, il gruppo può essere interpretato come il gruppo delle isometrie dello spazio euclideo di dimensione n . {\displaystyle n.} Le matrici aventi determinante uguale a + 1 {\displaystyle +1} formano un sottogruppo, che si indica con S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} , detto gruppo ortogonale speciale. Il gruppo ortogonale speciale è il gruppo delle rotazioni dello spazio.

Definizione

Il gruppo ortogonale è un sottogruppo del gruppo generale lineare G L ( n , K ) {\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)} di tutte le matrici invertibili, definito come segue:

{ Q G L ( n , K )   |   Q T Q = Q Q T = I } . {\displaystyle \{Q\in \mathrm {GL} (n,K)\ |\ Q^{T}Q=QQ^{T}=I\}.}

In altre parole, è il sottogruppo formato da tutte le matrici ortogonali[1].

Quando il campo K {\displaystyle K} non è menzionato, si sottintende che K {\displaystyle K} è il campo dei numeri reali R {\displaystyle \mathbb {R} } . In questa voce, parleremo soltanto del caso K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } .

Proprietà basilari

Una matrice ortogonale ha determinante + 1 {\displaystyle +1} oppure 1. {\displaystyle -1.} Il sottoinsieme di O ( n ) {\displaystyle \mathrm {O} (n)} formato da tutte le matrici con determinante + 1 {\displaystyle +1} è a sua volta un sottogruppo, detto gruppo ortogonale speciale. Viene indicato con S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} . Gli elementi di questo gruppo sono rotazioni.

Il gruppo O ( n ) {\displaystyle \mathrm {O} (n)} è il gruppo delle isometrie della sfera di dimensione n 1. {\displaystyle n-1.} Il sottogruppo S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} è dato da tutte le isometrie che preservano l'orientazione della sfera.

Topologia

Il gruppo O ( n ) {\displaystyle \mathrm {O} (n)} è una varietà differenziabile, e assieme alla sua struttura di gruppo forma un gruppo di Lie compatto. Non è connesso: ha infatti due componenti connesse, una delle quali è S O ( n ) . {\displaystyle \mathrm {SO} (n).}

Dimensioni basse

  • Per n = 1 {\displaystyle n=1} , il gruppo O ( 1 ) {\displaystyle \mathrm {O} (1)} consta di due elementi, 1 {\displaystyle 1} e 1. {\displaystyle -1.}
  • Per n = 2 {\displaystyle n=2} , il gruppo S O ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (2)} è isomorfo al gruppo quoziente R / Z {\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} } dove R {\displaystyle \mathbb {R} } è l'insieme dei numeri reali e Z {\displaystyle \mathbb {Z} } il sottogruppo dei numeri interi. Questo gruppo è solitamente indicato con S 1 {\displaystyle S^{1}} , e topologicamente è una circonferenza.
  • Per n = 3 {\displaystyle n=3} , il gruppo S O ( 3 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (3)} è omeomorfo allo spazio proiettivo reale di dimensione 3, che si indica solitamente come P 3 ( R ) . {\displaystyle \mathbb {P} ^{3}(\mathbb {R} ).}

Gruppo fondamentale

Il gruppo fondamentale di S O ( 2 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (2)} è Z , {\displaystyle \mathbb {Z} ,} il gruppo dei numeri interi. Per ogni n > 2 {\displaystyle n>2} il gruppo fondamentale di S O ( n ) {\displaystyle \mathrm {SO} (n)} è invece Z / 2 Z , {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,} il gruppo ciclico con due elementi. Ha quindi un rivestimento universale compatto, che viene indicato con S p i n ( n ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (n)} , e che risulta anch'esso essere un gruppo di Lie. Il gruppo S p i n ( n ) {\displaystyle \mathrm {Spin} (n)} è chiamato gruppo Spin.

Note

  1. ^ Edoardo Sernesi, Geometria 2, 1ª ed., Torino, Bollati Boringhieri, 1994, p. 58, ISBN 88-339-5548-6.

Bibliografia

  • (EN) Anthony Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Second Edition, Progress in Mathematics, vol. 140, Boston, Birkhäuser, 2002, ISBN 0-8176-4259-5.
  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, 1ª ed., Torino, Bollati Boringhieri, 1994, ISBN 88-339-5548-6.

Voci correlate

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