Sistema hamiltoniano

Mecânica clássica
Diagramas de movimento orbital de um satélite ao redor da Terra, mostrando a velocidade e aceleração.
Cinemática Deslocamento Velocidade Velocidade escalar Aceleração Aceleração centrípeta Movimento uniforme Movimento uniformemente variado Movimento retilíneo Movimento parabólico Movimento circular Movimento circular uniforme Movimento curvilíneo Movimento harmônico simples Movimento harmônico complexo
Dinâmica Força Inércia Produto de inércia Leis de Newton Primeira Lei de Newton Segunda Lei de Newton Terceira Lei de Newton Equações de movimento Ressonância
História História da física
Trabalho e Mecânica Energia cinética Energia potencial Trabalho Conservação da energia Força conservativa Força de contato Função de Lagrange Potência Retropropulsão Princípio de Hamilton
Sistema de partículas Centro de massa Corpo rígido Momento linear Conservação do momento linear Equilíbrio dinâmico Princípio de d'Alembert Sistema massa-mola
Colisões Impulso Colisão elástica Colisão inelástica
Movimento rotacional Posição angular Deslocamento angular Velocidade angular Aceleração angular Momento de inércia Torque Momento angular
Sistemas Clássicos Sistema dinâmico Sistema linear Sistema não linear Sistema hamiltoniano Sistema caótico
Formulações Mecânica newtoniana Mecânica hamiltoniana Mecânica lagrangiana Mecânica KvN Equação de Udwadia-Kalaba Mecânica de Routhian
Gravitação Lei da gravitação universal Princípio da superposição Constante gravitacional Velocidade de escape Leis de Kepler Princípio da equivalência
Físicos Isaac Newton Leonhard Euler Joseph-Louis Lagrange Pierre-Simon Laplace Galileu Galilei William Rowan Hamilton Johannes Kepler
v d e

Em mecânica clássica, um sistema hamiltoniano é um sistema físico no qual as forças são invariantes da velocidade.

Os sistemas hamiltonianos são estudados na mecânica hamiltoniana.

Em matemática, um sistema hamiltoniano é um sistema de equações diferenciais que podem ser escritas na forma de equações de Hamilton. Os sistemas hamiltonianos são usualmente formulados em termos dos campos de vectores hamiltonianos numa variedade simplética ou variedade de Poisson. Os sistemas hamiltonianos são um caso especial de sistemas dinâmicos.^[1]

Sistema de segunda ordem

Um sistema de segunda ordem

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}=f(x,y)\\{\dot {y}}=g(x,y)\end{array}}\right.}$

designa-se de sistema hamiltoniano se as funções ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ verificam a relação:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=-{\frac {\partial g}{\partial y}}}$

Função hamiltoniana

Se um sistema é hamiltoniano, existirá uma função de estado, ${\displaystyle H(x,y)}$, designada por função hamiltoniana, que permite definir as equações de evolução:^[1]

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}=\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial y}}\\[12pt]{\dot {y}}=-\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x}}\end{array}}\right.}$

Nomeadamente, a função hamiltoniana contêm toda a informação dinâmica do sistema. Qualquer função hamiltoniana define um sistema dinâmico. E qualquer conjunto de equações de evolução, que verifiquem as condições para ser sistema hamiltoniano, definem uma função hamiltoniana através das relações:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial y}}=f(x,y)\\[12pt]\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial x}}=-g(x,y)\end{array}}\right.}$

Soluções no espaço de fase

Enquanto um sistema hamiltoniano evolui, a função hamiltoniana permanece constante:

${\displaystyle {\frac {dH}{dt}}={\dot {x}}{\frac {\partial H}{\partial x}}+{\dot {y}}{\frac {\partial H}{\partial y}}={\frac {\partial H}{\partial y}}{\frac {\partial H}{\partial x}}-{\frac {\partial H}{\partial x}}{\frac {\partial H}{\partial y}}=0}$

isso implica que as soluções, no espaço de fase, são a família de curvas

${\displaystyle H(x,y)=constante}$

com diferentes valores da constante.

Os sistemas mecânicos sem forças dissipativas são sistemas hamiltonianos. A função hamiltoniana é a energia mecânica; as variáveis de estado poderão ser o momento linear e a posição (um par de variáveis por cada coordenada), ou o momento angular e um ângulo.^[1]

Pontos fixos

Um sistema hamiltoniano só pode ter pontos de sela e centros. Esse resultado explica-se pelo facto de que o traço da matriz jacobiana, em qualquer ponto fixo, é nulo, como podemos conferir, escrevendo a matriz jacobiana a partir da função hamiltoniana:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}\displaystyle {\frac {\partial ^{2}H}{\partial x\partial y}}&\displaystyle {\frac {\partial ^{2}H}{\partial y^{2}}}\\[12pt]-\displaystyle {\frac {\partial ^{2}H}{\partial x^{2}}}&-\displaystyle {\frac {\partial ^{2}H}{\partial y\partial x}}\end{array}}\right]}$

um dos valores próprios da matriz jacobiana será sempre igual ao outro, com sinal oposto. Os pontos onde os valores próprios forem reais, serão pontos de sela, e os pontos onde os valores próprios forem imaginários serão centros.^[1]

Sistemas gradiente

Um sistema de segunda ordem

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dot {x}}=f(x,y)\\{\dot {y}}=g(x,y)\end{array}}\right.}$

designa-se de sistema gradiente se as funções ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle g}$ verificam a relação:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {\partial g}{\partial x}}}$

nesse caso, existirá uma função potencial, ${\displaystyle V(x,y)}$ tal que:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}f(x,y)=-\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial x}}\\[12pt]g(x,y)=-\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial y}}\end{array}}\right.}$

as soluções do sistema são as curvas onde o potencial ${\displaystyle V}$ decresce mais rapidamente: na direção do gradiente do potencial, mas com sentido oposto.^[1]

A matriz Jacobiana é igual à matriz Hessiana do potencial:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}\displaystyle -{\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}&-\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial y\partial x}}\\[12pt]-\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial x\partial y}}&-\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}\end{array}}\right]}$

por ser uma matriz simétrica, deverá ter unicamente valores próprios reais. Assim, um sistema potencial não pode ter focos nem centros. Todos os seus pontos fixos serão sempre ou nós ou pontos de sela.

Pêndulo de Wilberforce

O Pêndulo de Wilberforce consiste num objeto, ligado a uma mola vertical, que pode oscilar na vertical, ou rodar no plano horizontal.^[1]

Para além da energia cinética de translação, existe energia cinética de rotação, que depende do momento angular, ${\displaystyle L}$, e do momento de inércia, ${\displaystyle I}$. A energia elástica de torção é proporcional ao quadrado do ângulo de rotação:

${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {L^{2}}{2I}}+{\frac {k}{2}}\,z^{2}+{\frac {a}{2}}\,\theta ^{2}+{\frac {b}{2}}\,z\,\theta }$

o termo de acoplamento é devido à relação que existe entre o alongamento e a torção da mola.

Por cada par deslocamento-momento, existem duas equações de movimento:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}{\dot {z}}=\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial p}}&\quad {\dot {\theta }}=\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial L}}\\[12pt]{\dot {p}}=-\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial z}}&\quad {\dot {L}}=-\displaystyle {\frac {\partial H}{\partial \theta }}\end{array}}}$

o sistema obtido é:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}{\dot {z}}=\displaystyle {\frac {p}{m}}\\[12pt]{\dot {\theta }}=\displaystyle {\frac {L}{I}}\\[12pt]{\dot {p}}=-kz-\displaystyle {\frac {b}{2}}\theta \\[12pt]{\dot {L}}=-a\theta -\displaystyle {\frac {b}{2}}z\end{array}}\right.}$

Exemplos

• Bilhar dinâmico
• Sistema planetários

Ver também

• Teorema de Liouville
• Sistema integrável

Referências