Równanie różniczkowe Clairauta

Równanie różniczkowe Clairauta – równanie różniczkowe postaci

${\displaystyle y=xy'+f(y').}$

O funkcjach ${\displaystyle y}$ oraz ${\displaystyle f}$ zakładamy, że są różniczkowalne w pewnych przedziałach.

Przez różniczkowanie obu stron otrzymujemy

${\displaystyle y'=y'+xy''+f'(y')y'',}$

czyli

${\displaystyle y''=0}$ lub ${\displaystyle 0=x+f'(y').}$

To równanie łatwo rozwiązać. Jednak nie wszystkie rozwiązania tego równania są rozwiązaniami równania pierwotnego. Ostatecznie otrzymuje się rodzinę prostych i jej obwiednię.

Równanie Clairauta dla funkcji wielu zmiennych

Równanie to można uogólnić na przypadek wielu zmiennych ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.}$ Ma ono wówczas postać

${\displaystyle y={{x}_{1}}{\frac {\partial y}{\partial {{x}_{1}}}}+{{x}_{2}}{\frac {\partial y}{\partial {{x}_{2}}}}+\ldots +{{x}_{n}}{\frac {\partial y}{\partial {{x}_{n}}}}+f\left({\frac {\partial y}{\partial {{x}_{1}}}},{\frac {\partial y}{\partial {{x}_{2}}}},\dots ,{\frac {\partial y}{\partial {{x}_{n}}}}\right).}$

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1997, wyd. XIV, ISBN 83-01-11658-7.