正九十七角形 九十七角形(きゅうじゅうしちかくけい、きゅうじゅうななかっけい、enneacontaheptagon)は、多角形の一つで、97本の辺と97個の頂点を持つ図形である。内角の和は17100°、対角線の本数は4559本である。
正九十七角形
正九十七角形においては、中心角と外角は3.711…°で、内角は176.288…°となる。一辺の長さが a の正九十七角形の面積 S は
![{\displaystyle S={\frac {97}{4}}a^{2}\cot {\frac {\pi }{97}}\simeq 748.48261a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6d8dd9f7380666e4d1a2531ed63b9a55a64c660)
- 関係式
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&2\cos {\frac {2\pi }{97}}+2\cos {\frac {72\pi }{97}}+2\cos {\frac {70\pi }{97}}\\x_{2}=&2\cos {\frac {10\pi }{97}}+2\cos {\frac {28\pi }{97}}+2\cos {\frac {38\pi }{97}}\\x_{3}=&2\cos {\frac {50\pi }{97}}+2\cos {\frac {54\pi }{97}}+2\cos {\frac {4\pi }{97}}\\x_{4}=&2\cos {\frac {56\pi }{97}}+2\cos {\frac {76\pi }{97}}+2\cos {\frac {20\pi }{97}}\\x_{5}=&2\cos {\frac {86\pi }{97}}+2\cos {\frac {8\pi }{97}}+2\cos {\frac {94\pi }{97}}\\x_{6}=&2\cos {\frac {42\pi }{97}}+2\cos {\frac {40\pi }{97}}+2\cos {\frac {82\pi }{97}}\\x_{7}=&2\cos {\frac {16\pi }{97}}+2\cos {\frac {6\pi }{97}}+2\cos {\frac {22\pi }{97}}\\x_{8}=&2\cos {\frac {80\pi }{97}}+2\cos {\frac {30\pi }{97}}+2\cos {\frac {84\pi }{97}}\\x_{9}=&2\cos {\frac {12\pi }{97}}+2\cos {\frac {44\pi }{97}}+2\cos {\frac {32\pi }{97}}\\x_{10}=&2\cos {\frac {60\pi }{97}}+2\cos {\frac {26\pi }{97}}+2\cos {\frac {34\pi }{97}}\\x_{11}=&2\cos {\frac {88\pi }{97}}+2\cos {\frac {64\pi }{97}}+2\cos {\frac {24\pi }{97}}\\x_{12}=&2\cos {\frac {52\pi }{97}}+2\cos {\frac {68\pi }{97}}+2\cos {\frac {74\pi }{97}}\\x_{13}=&2\cos {\frac {66\pi }{97}}+2\cos {\frac {48\pi }{97}}+2\cos {\frac {18\pi }{97}}\\x_{14}=&2\cos {\frac {58\pi }{97}}+2\cos {\frac {46\pi }{97}}+2\cos {\frac {90\pi }{97}}\\x_{15}=&2\cos {\frac {96\pi }{97}}+2\cos {\frac {36\pi }{97}}+2\cos {\frac {62\pi }{97}}\\x_{16}=&2\cos {\frac {92\pi }{97}}+2\cos {\frac {14\pi }{97}}+2\cos {\frac {78\pi }{97}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cd90790f8491915f80a23c747aee77d5708a2ac)
のように和、差の二乗を計算すると ![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=&{\frac {{\frac {{\frac {{\frac {-1+{\sqrt {97}}}{2}}-{\sqrt {\frac {97-{\sqrt {7857}}}{2}}}}{2}}+{\sqrt {\frac {{\frac {97-{\sqrt {2425}}}{2}}+{\sqrt {\frac {5141-{\sqrt {25927033}}}{2}}}}{2}}}}{2}}-{\sqrt {\frac {{\frac {{\frac {97+{\sqrt {4753}}}{2}}-{\sqrt {\frac {1649+{\sqrt {2705233}}}{2}}}}{2}}+{\sqrt {\frac {{\frac {2037+{\sqrt {3841297}}}{2}}-{\sqrt {\frac {3488605+{\sqrt {12162451874697}}}{2}}}}{2}}}}{2}}}}{2}}\\=&{\frac {{\frac {{\frac {{\frac {-1+{\sqrt {97}}}{2}}-{\sqrt {\frac {97-9{\sqrt {97}}}{2}}}}{2}}+{\sqrt {\frac {{\frac {97-5{\sqrt {97}}}{2}}+{\sqrt {\frac {5141-517{\sqrt {97}}}{2}}}}{2}}}}{2}}-{\sqrt {\frac {{\frac {{\frac {97+7{\sqrt {97}}}{2}}-{\sqrt {\frac {1649+167{\sqrt {97}}}{2}}}}{2}}+{\sqrt {\frac {{\frac {2037+199{\sqrt {97}}}{2}}-{\sqrt {\frac {3488605+354099{\sqrt {97}}}{2}}}}{2}}}}{2}}}}{2}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3877bbb847e7e88e865e61468715d634c24440ce)
三次方程式の係数を求めると
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{97}}\cdot 2\cos {\frac {72\pi }{97}}+2\cos {\frac {72\pi }{97}}\cdot 2\cos {\frac {70\pi }{97}}+2\cos {\frac {70\pi }{97}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{97}}=x_{1}+x_{12}\\&2\cos {\frac {2\pi }{97}}\cdot 2\cos {\frac {72\pi }{97}}\cdot 2\cos {\frac {70\pi }{97}}=x_{3}+2\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60929676e3069eba20692510e33fc89045f01388)
解と係数の関係より
![{\displaystyle u^{3}-x_{1}u^{2}+(x_{1}+x_{12})u-(x_{3}+2)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0231a181da52b34e164d3133c035bb4dcd78ea40)
この三次方程式を解くことにより、
を平方根と立方根で表すことが可能である。
正九十七角形の作図
正九十七角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正九十七角形は折紙により作図可能である[1]。
脚注
[脚注の使い方]
- ^ 西村保三, 大石美咲「正多角形の作図と3次方程式 : 正97109163193 角形の作図方程式」『福井大学教育・人文社会系部門紀要』第3号、2019年1月、85-98頁、ISSN 2434-1827、NAID 120006549553。
関連項目
外部リンク
- z^p=1 の解法(p:素数) | てっぃちMarshの数学(Mathematics)教室
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 | 六角形 | - 正六角形
- 円に内接する六角形
- 円に外接する六角形
- ルモワーヌの六角形(英語版)
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (selected) | |
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辺の数: 71–100 (selected) | |
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辺の数: 101– (selected) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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