Sextuplet de nombres premiers

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Un sextuplet de nombres premiers est, au sens le plus large, un n-uplet ${\displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3},p_{4},p_{5},p_{6})}$ de six nombres premiers.

Les recherches en théorie des nombres sur les nombres premiers ont amené les mathématiciens à définir et examiner des sextuplets particuliers, dont les termes (premiers) satisfont des conditions précises.

Les sextuplets de nombres premiers les plus étudiés regroupent des nombres premiers successifs, c'est-à-dire séparés par cinq distances « minimales ». Cette définition encore générale ne présente toujours pas beaucoup d'intérêt puisque, les nombres premiers étant en quantité infinie, il est possible de rassembler ces nombres successifs six par six (jusqu'à l'infini, justement) sans autre critère (que d'être successifs).

Écarts minimaux constants

En pratique, la notion de sextuplet de nombres premiers habituellement rencontrée dans la littérature mathématique concerne les sextuplets de nombres premiers distants d'écarts minimaux constants ; ils sont de la forme ${\displaystyle (p-4,p,p+2,p+6,p+8,p+12)}$ (où tous les termes sont premiers)^[1].

Un tel sextuplet est donc issu d'un quadruplet de nombres premiers d'écarts minimaux constants, ${\displaystyle (p,p+2,p+6,p+8)}$, auquel on a ajouté deux termes (premiers aussi) :

• à droite, ${\displaystyle p+12}$ ;
• à gauche, ${\displaystyle p-4}$.

Propriétés

Un sextuplet de nombres premiers d'écarts minimaux constants contient :

• deux paires de nombres premiers jumeaux proches : ${\displaystyle (p,p+2)}$ et ${\displaystyle (p+6,p+8)\ ;}$
• un quadruplet de nombres premiers d'écarts minimaux constants : ${\displaystyle (p,p+2,p+6,p+8)\ ;}$
• quatre triplets de nombres premiers d'écarts minimaux constants, se chevauchant partiellement : ${\displaystyle (p-4,p,p+2)}$, ${\displaystyle (p,p+2,p+6)}$, ${\displaystyle (p+2,p+6,p+8)}$, ${\displaystyle (p+6,p+8,p+12)\ ;}$
• deux quintuplets de nombres premiers d'écarts minimaux constants, se chevauchant partiellement : ${\displaystyle (p-4,p,p+2,p+6,p+8)}$ et ${\displaystyle (p,p+2,p+6,p+8,p+12).}$

Liste

Les cinq plus petits sextuplets de nombres premiers sont :

• (7, 11, 13, 17, 19, 23) ;
• (97, 101, 103, 107, 109, 113) ;
• (16 057, 16 061, 16 063, 16 067, 16 069, 16 073) ;
• (19 417, 19 421, 19 423, 19 427, 19 429, 19 433) ;
• (43 777, 43 781, 43 783, 43 787, 43 789, 43 793).

(De 50 001 à 100 000, aucune occurrence.)

Dénombrement

On ignore s'il existe une infinité de tels sextuplets.

Démontrer la conjecture des nombres premiers jumeaux ne démontrerait pas qu'il existe aussi une infinité de sextuplets de nombres premiers, ni même une infinité de triplets de nombres premiers.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prime quadruplet » (voir la liste des auteurs).
• (en) Suite  A022008 de l'OEIS.

v · m Nombres premiers
Donnés par une formule	combinatoire factoriel (n!±1) primoriel (pn#±1) Euclide (pn#+1) polynomiale Pythagore (4n + 1) cubain (x3 − y3)/(x − y) quatrain (x4 + y4) exponentielle Fermat (22n + 1) Mersenne (2p – 1) Double de Mersenne (22p–1 –1) Pierpont (2u3v + 1) Carol ((2n – 1)2 – 2) Kynea ((2n + 1)2 – 2) Thebit (3·2n – 1) Wagstaff ((2p + 1)/3) Proth (k2n + 1) Cullen (n2n + 1) Woodall (n2n – 1) Mills (⌊A3n⌋)
Appartenant à une suite	Fibonacci Lucas Motzkin Bell Pell Perrin Newman-Shanks-Williams
Ayant une propriété remarquable	bon chanceux fortuné Higgs illégal Pillai Ramanujan régulier Stern super supersingulier Wall-Sun-Sun Wieferich Paire de Wieferich Wilson Wolstenholme
Ayant une propriété dépendant de la base	diédral palindrome Reimerp répunit (10n − 1)/9 permutable circulaire délicat tronquable minimal long unique Smarandache-Wellin partie entière de puissances de constante troncature de constante
Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres	singleton Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {pn ; pn = (<, >) (pn–1 + pn+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier} n-uplet jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) suite progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)
Classement par taille	titanesque (1 000+ chiffres) gigantesque (10 000+) méga (1 000 000+) record
Généralisations (entier quadratique)	Eisenstein Gauss
Nombre composé	pseudo-premier presque premier semi-premier interpremier
Nombre connexe	probable (NPP)
Test de primalité	Crible d'Ératosthène Test de Fermat Test de Lucas-Lehmer Test de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne Test de Pépin Test de Miller-Rabbin Test de Solovay-Strassen Test AKS
Conjectures et théorèmes de théorie des nombres	Conjecture d'Agoh-Giuga Conjecture d'Artin Conjecture de Bateman-Horn Conjecture de Bouniakovski Conjecture de Brocard Conjecture de Cramér Conjecture de Dickson Conjecture d'Elliott-Halberstam Conjecture de Firoozbakht Conjecture de Goldbach forte faible Conjecture de Grimm Conjecture de Hardy-Littlewood première seconde Conjecture de Legendre Conjecture de Lemoine Conjecture des nombres premiers de Waring Conjecture d'Oppermann Conjecture de Polignac Conjecture de Redmond-Sun Fonction de compte des nombres premiers Formules pour les nombres premiers Hypothèse H de Schinzel Nouvelle conjecture de Mersenne Théorème de Green-Tao Théorème des nombres premiers Théorème de la progression arithmétique Théorème de Rosser Théorème de Vinogradov
Constantes liées aux nombres premiers	Constante de Brun Constante de Legendre Constante de Mills Constante des nombres premiers Constante de Copeland-Erdős
Prime Pages Liste de nombres premiers Liste de suites de nombres premiers

• Arithmétique et théorie des nombres