Conjecture de Lemoine

En théorie des nombres, la conjecture de Lemoine, nommé d'après Émile Lemoine, aussi connue comme la conjecture de Levy, d'après Hyman Levy (en), déclare que tous les entiers impairs supérieurs à 5 peuvent être représentés comme la somme d'un nombre premier impair et d'un nombre semi-premier pair.

Définition formelle

Pour le dire algébriquement, 2n + 1 = p + 2q a toujours une solution en nombres premiers p et q (pas nécessairement distincts) pour n > 2. C'est-à-dire,

\forall n\in \mathbb {N} +3,\exists p,q\in \mathbb {P} :2n+1=p+2q

Par exemple, 47 = 13 + 2 × 17 = 37 + 2 × 5 = 41 + 2 × 3 = 43 + 2 × 2. suite A046927 de l'OEIS compte de combien de façons différentes 2n + 1 peut être représenté sous la forme p + 2q.

Histoire

La conjecture a été posée par Émile Lemoine en 1895, mais a été attribuée à tort par MathWorld à Hyman Levy (en) qui y a réfléchi dans les années 1960^[1].

La conjecture aurait été vérifiée en 1999 par Dann Corbit jusqu'à 10⁹^[2].

Une conjecture similaire de Sun en 2008 indique que tous les entiers impairs supérieurs à 3, peuvent être représentés comme la somme d'un nombre premier impair et du produit de deux entiers consécutifs ( p+x(x+1) )^[3].

La conjecture de Lemoine est semblable à la conjecture de Goldbach, mais plus forte que celle-ci.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lemoine's conjecture » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Eric W. Weisstein, « Levy's Conjecture », sur MathWorld
↑ (en) « Lemoine's Conjecture Verified to 10^10 », MakeTheBrainHappy, 19 juin 2019 (consulté le 19 juin 2019)
↑ (en) Zhi-Wei Sun, « On sums of primes and triangular numbers », arXiv, 2008 (arXiv 0803.3737).

Bibliographie

Émile Lemoine, « Question 310 », L'Intermédiaire des mathématiciens, vol. 1,‎ 1894, p. 179 (lire en ligne)
Émile Lemoine, « Questions », L'Intermédiaire des mathématiciens, vol. 3,‎ 1896, p. 151
(en) H. Levy, "On Goldbach's Conjecture", Math. Gaz. 47 (1963): 274
(en) L. Hodges, "A lesser-known Goldbach conjecture", Math. Mag., 66 (1993): 45–47. DOI 10.2307/2690477. JSTOR:2690477
(en) John O. Kiltinen and Peter B. Young, "Goldbach, Lemoine, and a Know/Don't Know Problem", Mathematics Magazine, 58(4) (Sep., 1985), p. 195–203. DOI 10.2307/2689513. JSTOR:2689513
(en) Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory New York: Springer-Verlag 2004: C1

Liens externes

Conjecture de Levy par Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project.

v · m

Nombres premiers

Donnés par une formule

combinatoire	factoriel (n!±1) primoriel (p_n#±1) Euclide (p_n#+1)
polynomiale	Pythagore (4n + 1) cubain (x³ − y³)/(x − y) quatrain (x⁴ + y⁴)
exponentielle	Fermat (2^2ⁿ + 1) Mersenne (2^p – 1) Double de Mersenne (2^{2^p–1} –1) Pierpont (2^u3^v + 1) Carol ((2ⁿ – 1)² – 2) Kynea ((2ⁿ + 1)² – 2) Thebit (3·2ⁿ – 1) Wagstaff ((2^p + 1)/3) Proth (k2ⁿ + 1) Cullen (n2ⁿ + 1) Woodall (n2ⁿ – 1) Mills (⌊A^3ⁿ⌋)

Appartenant à une suite

Ayant une propriété remarquable

Ayant une propriété dépendant de la base

diédral
palindrome
Reimerp
répunit (10ⁿ − 1)/9
permutable
circulaire
délicat
tronquable
minimal
long
unique
Smarandache-Wellin
partie entière de puissances de constante
troncature de constante

Propriétés mettant en jeu plusieurs nombres

singleton	Chen {p ; p+2 premier ou semi-premier} équilibré (faible, fort) {p_n ; p_n = (<, >) (p_n–1 + p_n+1)/2} Sophie Germain {p ; 2p + 1 premier} sûr {p ; (p – 1)/2 premier}
n-uplet	jumeaux (p, p + 2) cousins (p, p + 4) sexy (p, p + 6) triplet (p, p + 2 ou p + 4, p + 6) quadruplet (p, p + 2, p + 6, p + 8) quintuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8) ou (p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12) sextuplet (p – 4, p, p + 2, p + 6, p + 8, p + 12)
suite	progression arithmétique (p + an) chaîne de Cunningham (p, 2p ± 1, etc.)