Sinc fonksiyonu

Sinc fonksiyonu matematik, fizik ve mühendislikte kullanılan bir trigonometrik fonksiyondur. Fonksiyonun normalize edilmemiş ve normalize edilmiş iki şekli vardır.

Fonksiyon

Normalize edilmemiş sinc(x) ve cos (x).
s i n c ( x ) = s i n ( x ) x {\displaystyle sinc(x)={\frac {sin(x)}{x}}}
s i n c ( 0 ) := lim x → 0 sin ⁡ ( a x ) a x = 1 {\displaystyle sinc(0):=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1}

Fonksiyon Taylor serisi ile ifade edilirse,

sin ⁡ x x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n + 1 ) ! = 1 − x 2 3 ! + x 4 5 ! − x 6 7 ! + ⋯ {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}}=1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\cdots }
∑ n = 1 ∞ sinc ⁡ ( n ) = sinc ⁡ ( 1 ) + sinc ⁡ ( 2 ) + sinc ⁡ ( 3 ) + sinc ⁡ ( 4 ) + ⋯ = π − 1 2 . {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)+\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)+\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.}

Bu fonksiyonun türevi,

d d x s i n c ( x ) = c o s ( x ) − s i n c ( x ) x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}sinc(x)={\frac {cos(x)-sinc(x)}{x}}}

Normalize edilmiş fonksiyon

Normalize ve normalize olmayan sinc (x)
s i n c ( x ) = s i n ( π x ) π x {\displaystyle sinc(x)={\frac {sin(\pi x)}{\pi x}}}

sin ⁡ π x π x = 1 − π 2 x 2 3 ! + π 4 x 4 5 ! − π 6 x 6 7 ! + ⋯ {\displaystyle {\frac {\sin \pi x}{\pi x}}=1-{\frac {\pi ^{2}x^{2}}{3!}}+{\frac {\pi ^{4}x^{4}}{5!}}-{\frac {\pi ^{6}x^{6}}{7!}}+\cdots }

Ayrıca bakınız

  • Borwein integrali