Polinom

Fonksiyon
x ↦ f (x)
tanım ve değer kümesine göre
X —› B Bn —› B X —› Z —› X X —› R —› X Rn —› X X —› C —› X Cn —› X
Sınıflar/özellikler
Sabit · Birim · Doğrusal · Polinom · Rasyonel · Cebirsel · Analitik · Yumuşak · Sürekli · Ölçülebilir · Birebir · Örten · Birebir örten
Yapılar
Kısıtlama · Bileşim · λ · Terslik
Genellemeler
Parçalı · Çokdeğerli · Kapalı
g t d

Matematikte, bir polinom belirli sayıda bağımsız değişken ve sabit sayıdan oluşan bir ifadedir. Polinom kendi içinde toplama, çıkarma, çarpma ve negatif olmayan sayının üssünü alma işlemlerini kullanır. Örnek olarak tek bilinmeyenli bir polinom olan x² − 4x + 7, ikinci dereceden bir polinomdur. Diğer bir örnek olarak, x² − 4/x + 7x^3/2 bir polinom değildir, çünkü polinomlarda terimlerin derecelerinin doğal sayı olması zorunludur. 2. terimde x′i ele alan bir bölme işlemi x'in derecesini negatif yapmaktadır ve 3. terim doğal sayı olmayan bir derece içermektedir (3/2).

Polinomlar, bilimde ve matematik alanında sıkça görülür. Ekonomiden kimyaya, kimyadan fiziğe ve sosyal bilimlerde problemlerin çözülmesi için kullanılır. Polinomlar, toplama işlemlerinde ve sayısal analizlerde diğer fonksiyonları belirlemek için kullanılır. İleri seviye matematikte, polinomlar, polinom halkaları oluşturmak için kullanılır ve bu halkalar temel matematikte ve cebirsel geometride kullanılan merkezi bir kavramdır.

Bu ismin akılda kalması amacıyla, Türk Dil Kurumu'nun da belirttiği polinom sözlük anlamıyla "çok terimli" anlamına gelmektedir.^[1]

Etimoloji

Oxford İngilizce Sözlüğü'ne göre, polinom, binom kelimesindeki bi- kökünün Yunanca "poli" kökü ile değiştirilmesiyle oluşmuş bir kelimedir. Yunanca kelime poli, çok anlamına gelmektedir. polinom kelimesi ilk 17. yüzyılda kullanılmıştır.^[2]

Notasyon

Bir polinomda belirsiz X, formüllerde P ya da P(X) olarak belirebilir.

Genelde, polinomun ismi P(X) değil, P′dir. Ancak, eğer a bir sayı, bir değişken, başka bir polinom, veya, daha genel olarak herhangi bir ifadeyi belirtmek için kullanılırsa, P(a) teamül olarak P′deki X′in yerine a′nın geçmesini belirtir. Örnek olarak polinom P, yandaki fonksiyonu tanımlar: ${\displaystyle x\mapsto P(x)}$

İlişkilendirilen fonksiyonda bilinmeyenler için büyük harf ve değişkenler için küçük harf kullanmak bilinen bir uzlaşımdır.

Özellikle, eğer a = X olursa, P(a)′nın tanımı P = P(X)′i belirtir.

Bu eşitlik bazı durumlarda sözle ifade etmeyi basitleştirir. Örneğin ″P(X) bir polinom olsun″ yerine ″X bilinmeyeni içinde P bir polinom olsun″ kullanılır. Diğer yandan, bilinmeyenin ismini vurgulamak gerekli olmadığı zaman, eğer polinomun her görünüşünde bilinmeyenin ismi gözükmüyorsa çoğu formül daha basit ve okuması daha kolay olur.

Polinomların Aritmetiği

Toplama

Polinomlar toplamanın birleşmeli yasasını kullanarak (bütün terimlerin tek bir toplamda birleştirilmesi), mümkün olduğunca tekrar sıralanıp, benzeri terimler birleştirilebilir.^[3][4]

Örneğin:

1. ${\displaystyle P=3x^{2}-2x+5xy-2}$ olsun
2. ${\displaystyle Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$ olsun
3. sonrasında
   ${\displaystyle P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$
4. basitleştirirsek:
   ${\displaystyle P+Q=x+5xy+4y^{2}+6}$

Polinomların toplamı polinom verir.^[5]

Katsayılar Toplamı: Bir polinomun katsayılar toplamını bulabilmek için o polinomun tüm değişkenlerine 1 vermeliyiz.

Örneğin:

P(3x+2)'in katsayılar toplamı P(5).

Polinomun sadece çift dereceli terimlerinin katsayılar toplamını bulabilmek için değişkenlere 1 ve -1 değerlerini vererek çıkan sonucu toplar ve ikiye böleriz. Sadece tek dereceli terimlerim katsayılar toplamı için ise aradaki toplama işlemini çıkarma işlemine çevirerek sonuca ulaşmak mümkündür.

Çarpım

İki polinomun çarpımlarının terimlerinin toplamını çözmek için, dağılma yasası tekrar edecek şekilde uygulanılır, ki bu, bir polinomun her teriminin diğer polinomun her terimiyle çarpılmasıyla sonuçlanır.^[3]

Örneğin:

1. ${\displaystyle \color {BrickRed}{P=2x+3y+5}}$ olsun
2. ${\displaystyle \color {RoyalBlue}{Q=2x+5y+xy+1}}$ olsun
3. sonrasında
   ${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {BrickRed}P}{\color {RoyalBlue}Q}&{=}&&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}2x})&+&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}5y})&+&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}xy})&+&({\color {BrickRed}2x}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\\&&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}2x})&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}5y})&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}xy})&+&({\color {BrickRed}3y}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\\&&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}2x})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}5y})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}xy})&+&({\color {BrickRed}5}\cdot {\color {RoyalBlue}1})\end{array}}}$
4. basitleştirirsek:
   ${\displaystyle PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5}$

Polinomların çarpımı polinom verir.^[5]

Bölme

Polinom değerlendirmesi birinci dereceden bir polinomun polinom bölümlerindeki kalanı hesaplamak için kullanılabilir, çünkü f(x)′in (x − a)′ya bölümü f(a)′dir; polinom kalan teoremine bakınız. Bu yöntem oran gerekli olmadığı zaman, çoğunlukta kullanılan bölüm algoritmasından daha verimli olur.

Diğer Özellikler

• İki polinomun bileşke fonksiyonu bir polinomdur, ki bu ilk polinomdaki değişkenin ikinci polinomdaki bir değişkenle değiştirilmesiyle elde edilir.^[5]
• a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + ... + a₂x² + a₁x + a₀ polinomunun türevi: na_nxⁿ⁻¹ + (n−1)a_n−1xⁿ⁻² + ... + 2a₂x + a₁′dir. Eğer katsayı dizisi tam sayı içermezse (örneğin katsayılar asal sayı olan p′nin modülosu ise), o zaman ka_k, k kere a_k′nin toplamı olarak yorumlanmalıdır. Örneğin tam sayı üstünde modülo p iken, x^p + 1′nin türevi polinom 0′dır.^[6]
• Özel olarak; bir polinomun derecesi 3 ise polinoma kübik, derecesi 2 ise kuadratik, derecesi 1 ise doğrusal veya lineer, derecesi 0 ise (P(x)≠0) sabit polinom denir.
• Sıfıra eşit olan bir polinoma sıfır polinomu denir ama sıfır polinomun derecesi 0 değildir. Sıfır polinomunun derecesi tanımlanmamıştır.

Hermit polinomları

Hermit polinomları Pierre-Simon Laplace tarafından 1810'da zor anlaşılır bir biçimde tanımlanmış ve 1859'da Pafnuty Chebyshev tarafından ayrıntılı olarak incelenmiştir. Diğer klasik dik polinomlar gibi, Hermit polinomları birkaç farklı başlangıç noktasından tanımlanabilir.

Tanım

Olasılıkçıların kullandığı Hermit polinomu;

${\textstyle He_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\left({\frac {x^{2}}{2}}\right)}{d^{n} \over dx^{n}}e^{\left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)}}$

Fizikçilerin kullandığı Hermit polinomu;

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{d^{n} \over dx^{n}}e^{-x^{2}}}$

Olasılıkçıların kullandığı Hermit polinomunun ilk on bir değeri;

${\displaystyle He_{0}(x)=1}$

${\displaystyle He_{1}(x)=x}$

${\textstyle He_{2}(x)=x^{2}-1}$

${\textstyle He_{3}(x)=x^{3}-3x}$

${\textstyle He_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3}$

${\textstyle He_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x}$

${\textstyle He_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15}$

${\textstyle He_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x}$

${\textstyle He_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105}$

${\textstyle He_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x}$

${\textstyle He_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{3}-945}$

Özellikleri

${\displaystyle n}$ dereceden bir Hermit polinomu ${\displaystyle n}$ dereceleri bir polinomdur. Olasılıkçıların(${\displaystyle He_{n}}$) kullandığı Hermit polinomunun ilk terimindeki katsayısı 1'dir.Fiziklerin kullandığı Hermit polinomunun katsayısı ${\displaystyle 2^{n}}$

Diklik

${\displaystyle He_{n}}$ ve ${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle n}$ dereceden polinomları için ${\displaystyle n=1,2,3,4.......}$ Bu polinomlar ağırlık işlevine(fonksiyon) göre dikliktir.

${\displaystyle w(x)=e^{\left({\frac {x^{2}}{2}}\right)}(He}$ için)

ya da

${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}}$ (${\displaystyle H}$ için)

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonlar listesi

Kaynakça