I matematik är cirkeldelningspolynomet eller det cyklotomiska polynomet för ett positivt heltal n det moniska minimalpolynomet över Q för en primitiv n:te enhetsrot. Polynomet kan beskrivas som
![{\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\omega }(x-\omega ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c31812a030aa67456b0d69e323a8030df00267d)
där ω löper över mängden av primitiva n:te enhetsrötter. Detta antal är precis
, där
är Eulers φ-funktion. Därför har
grad
.
De 104 första cirkeldelningspolynomen har bara 1, -1 och 0 som koefficienter. Emellertid är sjundegradskoefficienten liksom fyrtioförstagradskoefficienten i
-2.
Exempel
![{\displaystyle \Phi _{1}(x)=x-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9d5fe6a63f7317b440c2a621a8e04860eecb85f)
![{\displaystyle \Phi _{2}(x)=x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba22eea5783d969617ede8d15e232572caa4f2be)
![{\displaystyle \Phi _{3}(x)=x^{2}+x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c529caab41daf865e1a73be7215dffce6f2b093)
![{\displaystyle \Phi _{4}(x)=x^{2}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d624c7a36228a9cebb9a09c403ac9f9964130b58)
![{\displaystyle \Phi _{5}(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b686ea018e6934323c335313de13464792d0b49c)
![{\displaystyle \Phi _{6}(x)=x^{2}-x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21a0cb84a7c2bf27dd9397cfd4eb86c953ebedf0)
![{\displaystyle \Phi _{7}(x)=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1d45b984e4fb4e80ac2850360390e18bc6d277f)
![{\displaystyle \Phi _{8}(x)=x^{4}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2a8ddca5898dc61ec1494122ee41691828ddc5e)
![{\displaystyle \Phi _{9}(x)=x^{6}+x^{3}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20858b70ffb4c48f00776b1ea3447aa78dc8d76e)
![{\displaystyle \Phi _{10}(x)=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70f580e690bbf76cb9d19d29d6b3e352998cd34)
![{\displaystyle \Phi _{12}(x)=x^{4}-x^{2}+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b05e72ad9869275ceee942afa3b9862c2bc881)
![{\displaystyle \Phi _{15}(x)=x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d6ac989129529e76b4d749921db3174e239a57)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{105}(x)=&\quad x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-2x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}+x^{34}\\&+x^{33}+x^{32}+x^{31}-x^{28}-x^{26}-x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}+x^{16}+x^{15}\\&+x^{14}+x^{13}+x^{12}-x^{9}-x^{8}-2x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}+x+1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b9c0ddc4370157013d6a8e7d061d240d7283d15)
Egenskaper
Om n är ett primtal är
![{\displaystyle \Phi _{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}=\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e51cb39856eccca1b34ba58e9c4996684b7e4c1)
Om n är ett udda heltal större än 1 äe
![{\displaystyle \Phi _{2n}(x)=\Phi _{n}(-x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca251671c311175bb9deb72739a46d5a7c83173f)
Om n är ett jämnt heltal är
![{\displaystyle \Phi _{2n}(x)=\Phi _{n}(x^{2}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e629c32274423be2a1997d456a86cd2cae3617)
Speciellt om n=2p med p ett udda primtal är
![{\displaystyle \Phi _{n}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum _{i=0}^{p-1}(-x)^{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c7927f2802fa06a1b4c6c78cfface14360c2431)
Om n=pm är en primtalspotens är
![{\displaystyle \Phi _{n}(x)=\Phi _{p}(x^{p^{m-1}})=\sum _{i=0}^{p-1}x^{ip^{m-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba5fd6748cf0e0645a3bde897948ee550d734ae3)
Gauss formel
Låt n vara udda, kvadratfritt och större än 3. Då är[1][2]
![{\displaystyle 4\Phi _{n}(z)=A_{n}^{2}(z)-(-1)^{\frac {n-1}{2}}nz^{2}B_{n}^{2}(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df8fc094000e0de1481492d5c014d7bfb1dc011f)
där både An(z) och Bn(z) har heltalskoefficenter, An(z) har gard φ(n)/2 och Bn(z) har grad φ(n)/2 − 2. Vidare är An(z) palindromisk då dess grad är jämn; om dess grad är udda är den antipalindromisk. Analogt är Bn(z) palindromisk förutom då n är sammansatt och ≡ 3 (mod 4), då den är antipalindromisk.
De första fallen är
![{\displaystyle {\begin{aligned}4\Phi _{5}(z)&=4(z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{2}+z+2)^{2}-5z^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49a5d6c6d65e781b839672e85f2afd23e7c1a86)
![{\displaystyle {\begin{aligned}4\Phi _{7}(z)&=4(z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{3}+z^{2}-z-2)^{2}+7z^{2}(z+1)^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da788b9f64e7a42a93cbe48fbb5b7daebf5a82b8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}4\Phi _{11}(z)&=4(z^{10}+z^{9}+z^{8}+z^{7}+z^{6}+z^{5}+z^{4}+z^{3}+z^{2}+z+1)\\&=(2z^{5}+z^{4}-2z^{3}+2z^{2}-z-2)^{2}+11z^{2}(z^{3}+1)^{2}\end{aligned}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a6e2c441cab7df94defbc1c9eaf1a46d6eaed1)
Användningar
Genom att använda
kan man ge ett elementärt bevis av oändligheten av primtal kongruenta 1 modulo n,[3] vilket är ett specialfall av Dirichlets sats om aritmetiska följder.
Källor
- ^ Gauss, DA, Articles 356-357
- ^ Riesel, pp. 315-316, p. 436
- ^ S. Shirali. Number Theory. Orient Blackswan, 2004. p. 67. ISBN 81-7371-454-1