Normala

Normala je najopćenitije pravac ili vektor koji je okomit na objekt o kojem se govori (npr. normala na krivulju, normala na površinu i sl.)

Pravi ugao

Ako imamo dvije normalne prave ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle b}$ i uglove koje one čine α₁; α₂; α₃ i α₄,. U simetriji s_b preslikavaugao α₁ na α₄, ugao α₂; na α₃. Iz ovog zaključujemo da je α₁ = α₄ i α₂ = α₃.

Definicija 1

Svaki od uglova koje čine normalne prave je pravi ugao.

Teorema 1

Dvije različite prave u jednoj ravni normalne na treću pravu u toj ravni su paralelne prave.

Definicija 2

Tačka X₀, u kojoj normala u tački X na datu pravu a sijeće pravu a zove se ortogonalna projekcija tačke X na pravu a. Ortogonalnu projekciju krače zovemo samo projekcija.

Normalne 2 prave

Za dvije prave u ravni kažemo da su normalne ako zatvaraju pravi ugao.

Definiciju proširimo i na prave koji ne leže u istoj ravni, tj na mimoilazne pravce.

Neka su ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ dvije mimosmjerna prave. Odaberimo jednu tačku ${\displaystyle A}$ na pravoj ${\displaystyle p}$. Kroz tu tačku prolazi tačno jedan prava paralelna s pravcom ${\displaystyle q}$ (prema Petom Euklidovom aksiomu). Označimo tu pravu sa ${\displaystyle q_{1}}$. Kažemo da su pravci ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ su norrmalne ako su prave ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q_{1}}$ normalne.Pišemo ${\displaystyle p\perp q}$.

Normalnost prave i ravni

Kažemo da je prava ${\displaystyle p}$ normalna na ravan ${\displaystyle \alpha }$ ako je normalna na svaku pravu te ravni.

Teorema

Prava je normalna na ravan ako je normalna na neke dvije neparalelne prave te ravni.

Ravan je određena jednom svojom tačkom i nekom pravom koja je normalna na nju

Normalnost dvije ravni

Definicija

Kažemo da je ravan normalna na drugu ravan ako sadrži pravu koja je normalna na tu ravan.

Za datu tačku ${\displaystyle T}$ i datu ravan ${\displaystyle \pi }$ postoji jedinstvens prava kroz ${\displaystyle T}$ koja je normalna na ravan ${\displaystyle \pi }$

Definicija

Ortogonalna projekcija tačke ${\displaystyle T}$ na ravan ${\displaystyle \pi }$ je probodište ravni ${\displaystyle \pi }$ i prave ${\displaystyle q}$ koja prolazi kroz ${\displaystyle T}$ i normalna je na ${\displaystyle \pi }$.

Teorema o tri normale

Ako je ortogonalna projekcija ${\displaystyle p'}$ prave ${\displaystyle p}$ na ravan ${\displaystyle \pi }$ normalna na neku pravu ${\displaystyle q}$ te ravni, onda je i prava ${\displaystyle p}$ normalna na ${\displaystyle q}$.

Vrijedi i obratno

Ako je prava ${\displaystyle p}$ normalna na ${\displaystyle q}$, onda je ${\displaystyle p'}$ normalna na ${\displaystyle q}$.

Normala na krivulju

Normalom na krivulju ${\displaystyle y=f(x)}$ u točki ${\displaystyle x_{0}}$ nazivamo pravac koji prolazi kroz točku ${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$ i okomit je na tangentu krivulje u toj točki. Budući da je interpretacija prve derivacije funkcije koeficijent smjera pravca - tangente, to je jednadžba normale

${\displaystyle y-f(x_{0})=-{\frac {1}{f'(x_{0})}}(x-x_{0}),}$

uz pretpostavku da prva derivacija ne iščezaje u točki ${\displaystyle x_{0}}$, tj. ${\displaystyle (f'(x_{0})\neq 0).}$

Ukoliko je ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$, tada je jednadžba normale ${\displaystyle x=x_{0}}$, tj. normala je očito paralelna s ${\displaystyle y}$-osi.

Vektor normale je vektor koji leži na prethodno definiranom pravcu - normali. Pod pojmom normala, dakle, nekad razumijevamo prethodno definirani pravac, a nekad vektor koji leži na tom pravcu. Vektor normale po dogovoru najčešće uvijek gleda "van" krivulje.

Tangenta na površinu

Vektor normale na površinu u točki ${\displaystyle T}$ je vektor okomit na tangencijalnu ravninu površine u točki ${\displaystyle T}$. U slučaju ravne površine, očito je to vektor okomit na samu tu ravninu, i dan je vektorskim produktom bilo kojih dvaju vektora koja leže u ravnini. Ravnina, dakle, može imati normalu u dva smjera.

Normala na opću površinu, parametriziranu sustavom krivolinijskih koordinata ${\displaystyle \mathbf {x} (s,t)}$, gdje su ${\displaystyle s}$ i ${\displaystyle t}$ realne varijable, dana je vektorskim umnoškom parcijalnih derivacija po respektivnim koordinatama:

${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}.}$

Normala na opću površinu, zadanu implicitno jednadžbom

${\displaystyle f(x,y,z)=0,}$

u točki ${\displaystyle T=(x,y,z)}$ dana je gradijentom:

${\displaystyle \nabla f(x,y,z).}$

Iznimke

Ako određena površina u nekoj točki nema definiranu tangencijalnu ravninu, onda tu nema definiranu ni normalu. Tako, npr., valjak nema definiranu normalu na spoju plašta i dna, stožac nema normale u vrhu; u dvije dimenzije, funkcija ${\displaystyle f(x)=|x|}$ nema definiranu normalu u ishodištu.

Jedinstvenost

Već smo kod normale na krivulju mogli nazreti da normala nema jedinstven smjer - vektor normale na pravac već ima dva moguća smjera. Za orjentiranu površinu, normala se određuje pravilom desne ruke, tj., rečeno intuitivno, "gleda prema van".

Vanjske veze

• Tangenta i normala
• Java applet za traženje normale Arhivirano 2008-05-16 na Wayback Machine-u