Kompleksni brojevi su u prvobitnoj predstavi izrazi oblika a + b i {\displaystyle a+bi} , gde su a i b {\displaystyle b} realni brojevi, i {\displaystyle i} jedan simbol.
Sabiranje, množenje i deljenje kompleksnih brojeva definiše se formulama:
malo ( a + i b ) + ( x + i y ) = ( a + x ) + ( b + y ) i {\displaystyle (a+ib)+(x+iy)=(a+x)+(b+y)i\,} , ( a + i b ) ( x + i y ) = ( a x − b y ) + ( a y + b x ) i {\displaystyle (a+ib)(x+iy)=(ax-by)+(ay+bx)i\,} , a + b i x + y i = a x + b y x 2 + y 2 + b x − a y x 2 + y 2 ⋅ i {\displaystyle {\frac {a+bi}{x+yi}}={\frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}}\cdot i} U kompleksnom broju z = a + b i {\displaystyle z=a+bi} broj a {\displaystyle a} se naziva realni deo, piše se a = R e ( z ) {\displaystyle a=Re(z)} , a broj b {\displaystyle b} je imaginarni deo, piše se b = I m ( z ) {\displaystyle b=Im(z)} .
Kompleksan broj čiji je realni deo jednak nuli naziva se čisto imaginarni broj.
Realni brojevi predstavljaju poseban slučaj kompleksnih brojeva (kad je koeficijent uz i {\displaystyle i} jednak nuli). Iako se kompleksnim brojevima ne izražavaju količine, kao što je to slučaj s realnim brojevima, njihovo uvođenje koristi u rešavanju problema sastavljenih u terminima realnih brojeva, na primer, problema o prolazu struje kroz provodnik, o profilu krila aviona (koristeći funkcije Žukovskog), itd.
Nije manje važna ni primena kompleksnih brojeva na čisto matematičke probleme. Tako na primer, za nalaženje korena kubne jednačine potrebne su operacije s kompleksnim brojevima. Istorijski, kompleksni brojevi su uvedeni radi rešavanja kvadratne jednačine . Činjenica da kompleksni brojevi ne izražavaju veličine dala je povod za idealističko tumačenje kompleksnih brojeva (G. Lajbnic). velika zasluga u smislu materijalističkog tumačenja kompleksnih brojeva pripada L. Ojleru. Kompleksni broj se aksiomatski definiše kao uređen par realnih brojeva ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} . Formule sabiranja, množenja, deljenja se postuliraju ovako:
( a , b ) + ( x , y ) = ( a + x , b + y ) {\displaystyle (a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)\,} , ( a , b ) ⋅ ( x , y ) = ( a x − b y , a y + b x ) {\displaystyle (a,b)\cdot (x,y)=(ax-by,ay+bx)} , ( a , b ) ( x , y ) = ( a x + b y x 2 + y 2 , b x − a y x 2 + y 2 ) {\displaystyle {\frac {(a,b)}{(x,y)}}=({\frac {ax+by}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {bx-ay}{x^{2}+y^{2}}})} . Par ( 0 ; 1 ) {\displaystyle (0;1)} se naziva imaginarna jedinica i označava simbolom i {\displaystyle i} .[1] Iz poslednjih formula proizilazi da je i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} . Operacije sa kompleksnim brojevima zadovoljavaju obične zakone komutativnosti, distributivnosti i asocijativnosti (kao i u slučaju realnih brojeva). Međutim, operacije s kompleksnim brojevima pod radikalima (korenima) donekle se razlikuju od analognih operacija s realnim brojevima. Tako je
− 1 = i 2 = − 1 ⋅ − 1 ≠ ( − 1 ) ( − 1 ) = 1 {\displaystyle -1=i^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\not ={\sqrt {(-1)(-1)}}=1} . Definicija Definiciju kompleksnih brojeva kao uređenih parova dao je William R. Hamilton , irski matematičar (1805– 1865.) Ta se definicija temelji samo na osobini realnih brojeva, čime se izbjegava donekle nerazjašnjeni pojam broja − 1 {\displaystyle {\sqrt {-1}}} .
S druge strane, zapis oblika z = x + y i {\displaystyle z=x+yi} pogodniji je za računanje.
Oba oblika kompleksnog broja
z = x + y i {\displaystyle z=x+yi} i
z = ( x , y ) {\displaystyle z=(x,y)} potpuno su ekvivalentna.
Skup kompleksnih brojeva C {\displaystyle \mathbb {C} } je skup svih brojeva oblika z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} , gdje su x , y ∈ R {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} } .
Posebno je 0 = 0 + i 0 {\displaystyle 0=0+i0} .
x = R e ( z ) {\displaystyle x=\mathrm {Re} (z)} je realni dio kompleksnog broja z {\displaystyle z} ,
y = I m z {\displaystyle y=\mathrm {Im} z} je imaginarni dio kompleksnog broja z {\displaystyle z} .
Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} za x , y ∈ R {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = r ( c o s θ + i s i n θ ) , r ≥ 0 , θ ∈ R {\displaystyle z=r(cos\theta +isin\theta ),r\geq 0,\theta \in \mathbb {R} }
pri čemu je
r =∣ z ∣ {\displaystyle r=\mid z\mid } modul
θ = A R g z {\displaystyle \theta =ARgz} argument
Eksponencijalni oblik kompleksnog broja je z = r ∗ e i θ {\displaystyle z=r*e^{i\theta }} za r ≥ 0 , θ ∈ R {\displaystyle r\geq 0,\theta \in \mathbb {R} }
pri čemu je
r =∣ z ∣ {\displaystyle r=\mid z\mid } modul
θ = A R g z {\displaystyle \theta =ARgz} argument
Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki realni i imaginarni dijelovi.
z 1 = z 2 ↔ ( Re ( z 1 ) = Re ( z 2 ) ∧ Im ( z 1 ) = Im ( z 2 ) ) . {\displaystyle z_{1}=z_{2}\,\,\leftrightarrow \,\,(\operatorname {Re} (z_{1})=\operatorname {Re} (z_{2})\,\land \,\operatorname {Im} (z_{1})=\operatorname {Im} (z_{2})).}
Konjugirano kompleksni broj broja z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} je broj z ¯ = x − i y {\displaystyle {\bar {z}}=x-iy} .
Modul ili apsolutna vrijednost kompleksnog broja z {\displaystyle z} je nenegativni realni broj r = | z | = x 2 + y 2 {\displaystyle r=\vert z\vert ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} .
Osobine sabiranja kompleksnih brojeva [2] ( z 1 + z 2 = z 2 + z 1 {\displaystyle (z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}} za ∀ z 1 , z 2 ∈ C {\displaystyle \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} } komutativnost sabiranja
z 1 + ( z 2 + z 3 ) = ( z 1 + z 2 ) + z 3 , {\displaystyle z_{1}+(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3},} za ∀ z 1 , z 2 , z 3 ∈ C {\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} } asocijativnost sabiranja
∃ 0 ∈ C z + 0 = z {\displaystyle \exists 0\in \mathbb {C} z+0=z} za ∀ z ∈ C {\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} } neutralni element 0 (nula) za sabiranje
Kompleksni broj 0 = ( 0 , 0 ) = 0 + 0 i {\displaystyle 0=(0,0)=0+0i}
( ∀ z ∈ C ) ( ∃ ( − z ) ∈ C z + ( − z ) = 0 {\displaystyle (\forall z\in \mathbb {C} )(\exists (-z)\in \mathbb {C} z+(-z)=0} postojanje inverznog elemanta.
Kompleksni broj − z = ( − x , − y ) = − x − y i {\displaystyle -z=(-x,-y)=-x-yi} [3]
Osobine množenja kompleksnih brojeva z 1 ∗ z 2 = z 2 ∗ z 1 {\displaystyle z_{1}*z_{2}=z_{2}*z_{1}} za ∀ z 1 , z 2 ∈ C {\displaystyle \forall z_{1},z_{2}\in \mathbb {C} } komutativnost množenja
z 1 ∗ ( z 2 ∗ z 3 ) = ( z 1 ∗ z 2 ) ∗ z 3 {\displaystyle z_{1}*(z_{2}*z_{3})=(z_{1}*z_{2})*z_{3}} za ∀ z 1 , z 2 , z 3 ∈ C {\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} } asocijativnost množenja
∃ 1 ∈ C z ∗ 1 = z {\displaystyle \exists 1\in \mathbb {C} z*1=z} za ∀ z ∈ C {\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} } neutralni element 1 {\displaystyle 1} za množenje
( ∀ z ∈ C ) ( z ≠ 0 ) ( ∃ z ′ ∈ C z ∗ ( − z ′ ) = 1 {\displaystyle (\forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)(\exists z'\in \mathbb {C} z*(-z')=1} postojanje recipročnog elemanta
z 1 ∗ ( z 2 + z 3 ) = z 1 ∗ z 2 + z 1 ∗ z 3 {\displaystyle z_{1}*(z_{2}+z_{3})=z_{1}*z_{2}+z_{1}*z_{3}} za ∀ z 1 , z 2 , z 3 ∈ C {\displaystyle \forall z_{1},z_{2},z_{3}\in \mathbb {C} } distributivnost množenja u odnosu na sabiranje[4]
Realan proizvod dva kompleksna broja U skupu kompleksnih brojeva skalarnom proizvodu vektora odgovara pojam realnog proizvoda kompleksnih brojeva koji je skalarni proizvod vektora koji su određeni kompleksnim brojevima koji se množe. Definicija
Realan proizvod kompleksnih brojeva a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} , u oznaci a ∘ b {\displaystyle a\circ b} ,je realan broj određen kao
a ∘ b = 1 2 ( a ¯ b + a b ¯ ) {\displaystyle a\circ b={\frac {1}{2}}({\overline {a}}b+a{\overline {b}})}
Neka su A i B tačke određene kompleksnim brojevima a =∣ a ∣ ( c o s φ + i s i n φ ) {\displaystyle a=\mid a\mid (cos\varphi +isin\varphi )} i b =∣ b ∣ ( c o s ψ + i s i n ψ ) {\displaystyle b=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )} Lako je proveriti da je
a ∘ b =∣ a ∣∣ b ∣ ( c o s φ + i s i n ψ ) =∣ O A ∣∣ A B ∣ c o s A O B ^ {\displaystyle a\circ b=\mid a\mid \mid b\mid (cos\varphi +isin\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid cos{\widehat {AOB}}}
Osobine realnog proizvoda dva kompleksna broja
a ∘ a =∣ a ∣ 2 {\displaystyle a\circ a=\mid a\mid ^{2}} a ∘ b = b ∘ a {\displaystyle a\circ b=b\circ a} a ∘ b ¯ = a ∘ b {\displaystyle {\overline {a\circ b}}=a\circ b} ( α a ) ∘ b = α ( a ∘ b ) = a ∘ ( α b ) {\displaystyle (\alpha a)\circ b=\alpha (a\circ b)=a\circ (\alpha b)} ( a z ) ) b z ) =∣ z ∣ 2 ( a ∘ b ) {\displaystyle (az))bz)=\mid z\mid ^{2}(a\circ b)} a ∘ b = 0 <=> O A ⊥ O B {\displaystyle a\circ b=0<=>OA\perp OB} (za tačke A i B kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} ) Realan proizvod kompleksnih brojeva a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} jednak je potenciji koordinantnog početka O {\displaystyle O} kompleksne ravni u odnosu na krug čiji je prečnik A B {\displaystyle AB} , gdje su A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} tačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} .
Tačka M {\displaystyle M} je sredina duži AB određena kompleksnim brojem a + b 2 {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}} , potencija tačke O {\displaystyle O} u odnosu na krug sa središtem u tački M {\displaystyle M} i poluprečnikom
r = a − b 2 = ∣ a − b ∣ 2 {\displaystyle r={\frac {a-b}{2}}={\frac {\mid a-b\mid }{2}}} jednaka je
O M 2 − r 2 =∣ a + b 2 ∣ − ∣ a − b 2 ∣= ( a + b ) ( a ¯ + b ¯ 4 − ( a − b ) ( a ¯ − b ¯ ) 4 = a ∘ b {\displaystyle OM^{2}-r^{2}=\mid {\frac {a+b}{2}}\mid -\mid {\frac {a-b}{2}}\mid ={\frac {(a+b)({\overline {a}}+{\overline {b}}}{4}}-{\frac {(a-b)({\overline {a}}-{\overline {b}})}{4}}=a\circ b}
Neka su tačke A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} , D {\displaystyle D} taačke kompleksne ravni određene kompleksnim brojevima a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} , d {\displaystyle d} . Tada su sledeća tvrđenja ekvivalentna:
A B ⊥ C D {\displaystyle AB\perp CD} ( a + b ) ∘ ( c + d ) = 0 {\displaystyle (a+b)\circ (c+d)=0} b − a d − c ∈ i R { 0 } {\displaystyle {\frac {b-a}{d-c}}\in i\mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}} R e ( b − a d − c ) = 0 {\displaystyle Re({\frac {b-a}{d-c}})=0} Središte kružnice opisane oko trougla A B C {\displaystyle ABC} nalazi se u koordinantnom početku kompleksne ravni. Ako su tjemena A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} trougla A B C {\displaystyle ABC} određena kompleksnim brojevima a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} respektivno, tada je ortocentar H {\displaystyle H} tog trougla određen kompleksnim brojem h = a + b + c {\displaystyle h=a+b+c} .
Kompleksan proizvod dva kompleksna broja Kompleksan proizvod dva kompleksna broja je analogan vektorskom proizvodu vektora.
Definicija Kompleksan broj
a × b = a ¯ b − a b ¯ 2 {\displaystyle a\times b={\frac {{\overline {a}}b-a{\overline {b}}}{2}}} nazivamo kompleksnim proizvodom kompleksnih brojeva a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} .
Neka su A {\displaystyle A} i B {\displaystyle B} tačke određene kompleksnim brojevima a =∣ a ∣ ( c o s φ + i s i n φ ) {\displaystyle a=\mid a\mid (cos\varphi +isin\varphi )} i a =∣ b ∣ ( c o s ψ + i s i n ψ ) {\displaystyle a=\mid b\mid (cos\psi +isin\psi )} Lako je provjeriti da je
∣ a × b ∣=∣ a ∣∣ b ∣ s i n ( φ − ψ ) =∣ O A ∣∣ A B ∣ s i n A O B ^ = 2 P A O B {\displaystyle \mid a\times b\mid =\mid a\mid \mid b\mid sin(\varphi -\psi )=\mid OA\mid \mid AB\mid sin{\widehat {AOB}}=2P_{AOB}}
Neka su a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} , c {\displaystyle c} kompleksni brojevi. Tada kompleksan proizvod dva kompleksna broja ima sledeće osobine
a × b ¯ = − a × b {\displaystyle {\overline {a\times b}}=-a\times b} a × b = 0 <=> a = 0 ∨ b = 0 ∨ a = λ b {\displaystyle a\times b=0<=>a=0\lor b=0\lor a=\lambda b} gdje je λ ∈ R { 0 } {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} \ {\begin{Bmatrix}0\end{Bmatrix}}} a × b = − b × a {\displaystyle a\times b=-b\times a} α ( a × b ) = ( α a ) × b = a × ( α b ) {\displaystyle \alpha (a\times b)=(\alpha a)\times b=a\times (\alpha b)} ( ∀ α ∈ R {\displaystyle \forall \alpha \in \mathbb {R} } ) Ako su A ( a ) {\displaystyle A(a)} i B ( b ) {\displaystyle B(b)} dvije različite tačke različite od O ( 0 ) {\displaystyle O(0)} , tada je a × b = 0 {\displaystyle a\times b=0} onda i samo onda ako su O {\displaystyle O} , A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} kolinearne tačke.
Neka su A ( a {\displaystyle A(a} ) i B ( b {\displaystyle B(b} ) dvije različite tačke u kompleksnoj ravni različite od koordinantnog početka. Kompleksan proizvod brojeva a {\displaystyle a} i b {\displaystyle b} ima sljedeći geometrijski smisao
a × b = { 2 i P A O B z a t r o u g a o A O B p o z i t i v n o o r i j e n t i s a n − 2 i P A O B z a t r o u g a o A O B n e g a t i v n o o r i j e n t i s a n {\displaystyle a\times b={\begin{cases}2iP_{AOB}\ za\ trougao\ AOB\ pozitivno\ orijentisan\\-2iP_{AOB}\ za\ trougao\ AOB\ negativno\ orijentisan\end{cases}}} Neka su A ( a ) {\displaystyle A(a)} , B ( b ) {\displaystyle B(b)} i C ( c ) {\displaystyle C(c)} tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada je
P A B C = { 1 2 ( a × b + b × c + c × a ) a k o j e A B C p o z i t i v n o o r j e n t i s a n 1 2 ( a × b + b × c + c × a ) a k o j e A B C n e g a t i v n o o r j e n t i s a n {\displaystyle P_{ABC}={\begin{cases}{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a)\ ako\ je\ ABC\ pozitivno\ orjentisan\\{\frac {1}{2}}(a\times b+b\times c+c\times a)\ ako\ je\ ABC\ negativno\ orjentisan\end{cases}}}
Neka su A ( a ) {\displaystyle A(a)} , B ( b ) {\displaystyle B(b)} i C ( c ) {\displaystyle C(c)} tri različite tačke u kompleksnoj ravni. Tada su sljedeća tvrđenja ekvivalentna
Tačke A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , C {\displaystyle C} su kolinearne ( b − a ) × ( c − a ) = 0 {\displaystyle (b-a)\times (c-a)=0} a × b + b × c + c × a = 0 {\displaystyle a\times b+b\times c+c\times a=0} Neka su A ( a ) {\displaystyle A(a)} , B ( b ) {\displaystyle B(b)} , C ( c ) {\displaystyle C(c)} i D ( d ) {\displaystyle D(d)} četiri tačke od kojih nikoje tri nisu kolinearne. Tada je A B ∥ C D {\displaystyle AB\parallel CD} onda i samo onda ako je ( b − a ) × ( d − c ) = 0 {\displaystyle (b-a)\times (d-c)=0}
Dijeljenje kompleksnih brojeva z 1 z 2 = x 1 + i y 1 x 2 + i y 2 ⋅ x 2 − i y 2 x 2 − i y 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 + i y 1 x 2 − x 1 y 2 x 2 2 + y 2 2 , za z 2 ≠ 0 {\displaystyle \displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}+iy_{1}}{x_{2}+iy_{2}}}\cdot {\frac {x_{2}-iy_{2}}{x_{2}-iy_{2}}}\displaystyle ={\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+i{\frac {y_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},\quad {\textrm {za}}\quad z_{2}\neq 0}
U svakom skupu brojeva dijeljenje se definiše kao množenje inverznim elementom. Uvjerimo se da za
∀ z ∈ C ) ( z ≠ 0 ) ∃ z ′ ∈ C {\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} )(z\neq 0)\exists z'\in \mathbb {C} }
Neka je z = x + y i ≠ 0 {\displaystyle z=x+yi\neq 0} bilo koji. Onda je x 2 + y 2 ≠ 0 {\displaystyle x^{2}+y^{2}\neq 0} pa je dobro definisan broj
z ′ = x x 2 + y 2 + − y x 2 + y 2 i {\displaystyle z'={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}i}
1 z = z ¯ z z ¯ = z ¯ x 2 + y 2 = x x 2 + y 2 − y x 2 + y 2 i . {\displaystyle {\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{z{\bar {z}}}}={\frac {\bar {z}}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}i.}
imamo
z ′ ∗ z = z ∗ z ′ = 1 {\displaystyle z'*z=z*z'=1}
z ′ = z − 1 = 1 z {\displaystyle z'=z^{-1}={\frac {1}{z}}}
Konjugovano kompleksni brojevi Kompleksan broj z ¯ = x − y i = r − i θ {\displaystyle {\overline {z}}\ =x-yi=r^{-i\theta }} nazivamo konjugovanim broju z = x + y i = r i θ {\displaystyle z=x+yi=r^{i\theta }} .[5]
Brojevi z {\displaystyle z} i z ¯ {\displaystyle {\overline {z}}} čine par konjugovanik brojeva. Njihovim sabiranjem i oduzimanjem dobijamo
R e z = 1 2 ( z + z ¯ ) {\displaystyle Rez={\frac {1}{2}}(z+{\overline {z}})}
I m z = 1 2 i ( z − z ¯ ) {\displaystyle Imz={\frac {1}{2i}}(z-{\overline {z}})}
Lako se provjerava da vrijedi
z 1 + z 2 ¯ = z 1 ¯ + z 2 ¯ {\displaystyle {\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}} z 1 − z 2 ¯ = z 1 ¯ − z 2 ¯ {\displaystyle {\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}} z 1 ∗ z 2 ¯ = z 1 ¯ ∗ z 2 ¯ {\displaystyle {\overline {z_{1}*z_{2}}}={\overline {z_{1}}}*{\overline {z_{2}}}} ( z 1 z 2 ) ¯ = z 1 ¯ z 1 ¯ {\displaystyle {\overline {({\frac {z_{1}}{z_{2}}})}}={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{1}}}}} [6] Neka je z = r ( c o s θ + i s i n θ ) = r c i s θ {\displaystyle z=r(cos\theta +isin\theta )=r\ cis\theta } trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je
z 2 = z ∗ z {\displaystyle z^{2}=z*z}
z 2 = r c i s θ ∗ r c i s θ = r 2 c i s ( θ + θ ) = r 2 c i s 2 θ {\displaystyle z^{2}=r\ cis\theta *r\ cis\theta =r^{2}\ cis(\theta +\theta )=r^{2}\ cis2\theta }
z 3 = r 2 c i s 2 θ ∗ r c i s θ = r 3 c i s ( 2 θ + θ ) = r 3 c i s 3 θ {\displaystyle z^{3}=r^{2}\ cis2\theta *r\ cis\theta =r^{3}\ cis(2\theta +\theta )=r^{3}\ cis3\theta }
z 4 = r 3 c i s 3 θ ∗ r c i s θ = r 4 c i s ( 3 θ + θ ) = r 4 c i s 4 θ {\displaystyle z^{4}=r^{3}\ cis3\theta *r\ cis\theta =r^{4}\ cis(3\theta +\theta )=r^{4}\ cis4\theta } [7]
Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici
z n = r n c i s n θ {\displaystyle z^{n}=r^{n}\ cisn\theta } ili
( c o s θ + i s i n θ ) n = c o s n θ + i s i n n θ ( n ∈ Z ) {\displaystyle (cos\theta +isin\theta )^{n}=cosn\theta +isinn\theta (n\in Z)} [8]
Stepenovanje kompleksnog broja z n = r n ( c o s n θ + i s i n n θ ) = r n e i n θ {\displaystyle z^{n}=r^{n}(cosn\theta +isinn\theta )=r^{n}e^{in\theta }} za n ∈ N {\displaystyle n\in N} .
z m z n = z m + n {\displaystyle z^{m}z^{n}=z^{m+n}}
z 1 n ∗ z 2 n = ( z 1 z 2 ) n {\displaystyle z_{1}^{n}*z_{2}^{n}=(z_{1}z_{2})^{n}}
( z m ) n = z m n {\displaystyle (z^{m})^{n}=z^{mn}}
Korjenovanje kompleksnog broja z n = { u 0 , u 1 . . . u n } {\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\begin{Bmatrix}u_{0},u_{1}...u_{n}\end{Bmatrix}}} za n ∈ N {\displaystyle n\in N}
gdje je
u k = r n ( c o s r n n + i s i n θ + 2 k π n ) {\displaystyle u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}(cos{\frac {\sqrt[{n}]{r}}{n}}+isin{\frac {\theta +2k\pi }{n}})} za k = 0 , 1 , . . . ( n − 1 ) {\displaystyle k=0,1,...(n-1)}
u k = r n e i ( θ + 2 k π ) / 2 {\displaystyle u_{k}={\sqrt[{n}]{r}}e^{i(\theta +2k\pi )/2}} za k = 0 , 1 , . . . ( n − 1 ) {\displaystyle k=0,1,...(n-1)}
Kvadratni korjen imaginarnog broja i = 1 2 2 + i 1 2 2 = 2 2 ( 1 + i ) . {\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}+i{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i).}
Ovaj rezultat možemo dobiti na sljedeći način
i = ( a + b i ) 2 {\displaystyle i=(a+bi)^{2}\!}
i = a 2 + 2 a b i − b 2 . {\displaystyle i=a^{2}+2abi-b^{2}.\!}
Dobijamo dvije jednačine
{ 2 a b = 1 a 2 − b 2 = 0 {\displaystyle {\begin{cases}2ab=1\!\\a^{2}-b^{2}=0\!\end{cases}}}
čija su rješenja
a = b = ± 1 2 . {\displaystyle a=b=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}.}
Izbor glavnog korjena daje
a = b = 1 2 . {\displaystyle a=b={\frac {1}{\sqrt {2}}}.}
Rezultat možemo dobiti pomoću Moavrova formule
i = cos ( π 2 ) + i sin ( π 2 ) {\displaystyle i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)}
i = ( cos ( π 2 ) + i sin ( π 2 ) ) 1 2 = cos ( π 4 ) + i sin ( π 4 ) = 1 2 + i ( 1 2 ) = 1 2 ( 1 + i ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left(\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right)^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {1}{\sqrt {2}}}+i\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).\\\end{aligned}}}
Apsolutna vrijednost argumenta Apsolutna vrijednost (ili modul ili veličine) kompleksnog broja z = x + y i {\displaystyle z=x+yi} je
r = | z | = x 2 + y 2 . {\displaystyle \textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,} [9] Kvadrat apsolutne vrijednosti je
| z | 2 = z z ¯ = x 2 + y 2 . {\displaystyle \textstyle |z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}.\,}
φ = arg ( z ) = { arctan ( y x ) if x > 0 arctan ( y x ) + π if x < 0 and y ≥ 0 arctan ( y x ) − π if x < 0 and y < 0 π 2 if x = 0 and y > 0 − π 2 if x = 0 and y < 0 indeterminate if x = 0 and y = 0. {\displaystyle \varphi =\arg(z)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{if }}x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{if }}x<0{\mbox{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y<0\\{\mbox{indeterminate }}&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0.\end{cases}}}
Množenje i dijeljenje u polarnom obliku Iz trigonometrijskih identiteta
cos ( a ) cos ( b ) − sin ( a ) sin ( b ) = cos ( a + b ) {\displaystyle \cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)=\cos(a+b)}
cos ( a ) sin ( b ) + sin ( a ) cos ( b ) = sin ( a + b ) {\displaystyle \cos(a)\sin(b)+\sin(a)\cos(b)=\sin(a+b)}
imamo
z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos ( φ 1 + φ 2 ) + i sin ( φ 1 + φ 2 ) ) . {\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})).\,}
Primjer ( 2 + i ) ( 3 + i ) = 5 + 5 i . {\displaystyle (2+i)(3+i)=5+5i.\,}
π 4 = arctan 1 2 + arctan 1 3 {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}}
Dijeljenje
z 1 z 2 = r 1 r 2 ( cos ( φ 1 − φ 2 ) + i sin ( φ 1 − φ 2 ) ) . {\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}\left(\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+i\sin(\varphi _{1}-\varphi _{2})\right).}
Trigonometrijski oblik Ponekad je kompleksne brojeve pogodno pisati u trigonometrijskom obliku:
a + b i = ρ ( cos ϕ + i sin ϕ ) {\displaystyle a+bi=\rho (\cos \phi +i\sin \phi )\,} , ρ = a 2 + b 2 , ϕ = arctan b a {\displaystyle \rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}},\ \phi =\arctan {\frac {b}{a}}} , za a > 0 {\displaystyle a>0} i ϕ = π + arctan b a {\displaystyle \phi =\pi +\arctan {\frac {b}{a}}} za a < 0 {\displaystyle a<0} ; kada je a = 0 {\displaystyle a=0} onda je ϕ = π 2 {\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}} , ako je b > 0 {\displaystyle b>0} i ϕ = − π 2 {\displaystyle \phi =-{\frac {\pi }{2}}} , ako je b < 0 {\displaystyle b<0} . Broj ρ {\displaystyle \rho } se naziva moduo kompleksnog broja, a ϕ {\displaystyle \phi } je argument kompleksnog broja. Množiti kompleksne brojeve je veoma pogodno baš u ovom obliku: u množenju kompleksnih brojeva množe se njihovi moduli, a argumenti se sabiraju. Iz ovog pravila proizilazi Moavrova formula:
( cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos n ϕ + i sin n ϕ {\displaystyle (\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,} . Kompleksni brojevi se često predstavljaju vektorima u kompleksnoj ravni (slika dole). Geometrijski smisao brojeva a , b , ρ , ϕ {\displaystyle a,b,\rho ,\phi } vidi se na crtežu. U sabiranju kompleksnih brojeva njihovi vektori se sabiraju po pravilu paralelograma.
Dužina vektora ρ {\displaystyle \rho } je moduo, ili modul kompleksnog broja, a kao što se vidi na gornjoj slici, može se dobiti pomoću Pitagorine teoreme. Modul, intenzitet kompleksnog broja često označavamo kao apsolutnu vrednost, tj. udaljenost broja od ishodišta koordinatnog sistema: | z | = ρ = a 2 + b 2 {\displaystyle |z|=\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}} .
Kompleksni brojevi u trigonometrijskom obliku su usko povezani s eksponencijalnom funkcijom imaginarnog argumenta. Važi sledeća Ojlerova formula:
e i ϕ = cos ϕ + i sin ϕ {\displaystyle e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi \,} ; tj.
e i n ϕ = ( cos ϕ + i sin ϕ ) n {\displaystyle e^{in\phi }=(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}\,} ; pomoću nje se definiše stepenovanje kompleksnih brojeva, logaritam kompleksnog broja i dr.
Kompleksni brojevi obrazuju algebarsko zatvoreno polje. Polje kompleksnih brojeva je proširenje polja realnih brojeva pridruživanjem ovom polju elementa i {\displaystyle i} , takvog da je i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} .
Množenje Množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku je slično množenju kompleksnih brojeva u standardnom obliku.
Neka su zadani kompleksni brojevi
z 1 = r 1 ( c o s φ 1 + i s i n φ 1 ) {\displaystyle z_{1}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})} i z 2 = r 2 ( c o s φ 2 + i s i n φ 2 ) {\displaystyle z_{2}=r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}
onda je [10]
z 1 z 2 = r 1 ( c o s φ 1 + i s i n φ 1 ) r 2 ( c o s φ 2 + i s i n φ 2 ) = {\displaystyle z_{1}z_{2}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})=}
r 1 r 2 ( c o s φ 1 c o s φ 2 + i c o s φ 1 s i n φ 2 + i c o s φ 2 s i n φ 1 + i 2 s i n φ 1 s i n φ 2 ) = {\displaystyle r_{1}r_{2}(cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}+icos\varphi _{1}sin\varphi _{2}+icos\varphi _{2}sin\varphi _{1}+i^{2}sin\varphi _{1}sin\varphi _{2})=}
r 1 r 2 ( ( c o s φ 1 c o s φ 2 − s i n φ 1 s i n φ 2 ) + i ( c o s φ 1 s i n φ 2 c o s φ 2 s i n φ 1 ) = {\displaystyle r_{1}r_{2}((cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}-sin\varphi _{1}sin\varphi _{2})+i(cos\varphi _{1}sin\varphi _{2}cos\varphi _{2}sin\varphi _{1})=}
r 1 r 2 ( c o s ( φ 1 + φ 2 ) + i s i n ( φ 1 + φ 2 ) {\displaystyle r_{1}r_{2}(cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})+isin(\varphi _{1}+\varphi _{2})}
Dijeljenje Neka su zadani kompleksni brojevi
z 1 = r 1 ( c o s φ 1 + i s i n φ 1 ) {\displaystyle z_{1}=r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})} i z 2 = r 2 ( c o s φ 2 + i s i n φ 2 ) {\displaystyle z_{2}=r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}
z 1 z 2 = r 1 ( c o s φ 1 + i s i n φ 1 ) r 2 ( c o s φ 2 + i s i n φ 2 ) = r 1 ( c o s φ 1 + i s i n φ 1 ) r 2 ( c o s φ 2 + i s i n φ 2 ) ∗ r 1 ( c o s φ 2 − i s i n φ 2 ) r 2 ( c o s φ 2 − i s i n φ 2 ) {\displaystyle {\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}{r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}}={\frac {r_{1}(cos\varphi _{1}+isin\varphi _{1})}{r_{2}(cos\varphi _{2}+isin\varphi _{2})}}*{\frac {r_{1}(cos\varphi _{2}-isin\varphi _{2})}{r_{2}(cos\varphi _{2}-isin\varphi _{2})}}} [11]
r 1 r 2 ∗ c o s φ 1 c o s φ 2 − i c o s φ 1 s i n φ 2 + i c o s φ 2 s i n φ 1 − i 2 s i n φ 1 s i n φ 2 c o s 2 φ 2 + s i n 2 φ 2 {\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}*{\frac {cos\varphi _{1}cos\varphi _{2}-icos\varphi _{1}sin\varphi _{2}+icos\varphi _{2}sin\varphi _{1}-i^{2}sin\varphi _{1}sin\varphi _{2}}{cos^{2}\varphi _{2}+sin^{2}\varphi _{2}}}}
r 1 r 2 ( c o s ( φ 1 − φ 2 ) + i s i n ( φ 1 − φ 2 ) ) = r 1 r 2 ( c i s ( φ 1 − φ 2 ) {\displaystyle {\frac {r_{1}}{r_{2}}}(cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+isin(\varphi _{1}-\varphi _{2}))={\frac {r_{1}}{r_{2}}}(cis(\varphi _{1}-\varphi _{2})}
De Moavrova formula = Neka je z = r ( c o s θ + i s i n θ ) = r c i s θ {\displaystyle z=r(cos\theta +isin\theta )=r\ cis\theta } trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Tada je
z 2 = z ∗ z {\displaystyle z^{2}=z*z}
z 2 = r c i s θ ∗ r c i s θ = r 2 c i s ( θ + θ ) = r 2 c i s 2 θ {\displaystyle z^{2}=r\ cis\theta *r\ cis\theta =r^{2}\ cis(\theta +\theta )=r^{2}\ cis2\theta }
z 3 = r 2 c i s 2 θ ∗ r c i s θ = r 3 c i s ( 2 θ + θ ) = r 3 c i s 3 θ {\displaystyle z^{3}=r^{2}\ cis2\theta *r\ cis\theta =r^{3}\ cis(2\theta +\theta )=r^{3}\ cis3\theta }
z 4 = r 3 c i s 3 θ ∗ r c i s θ = r 4 c i s ( 3 θ + θ ) = r 4 c i s 4 θ {\displaystyle z^{4}=r^{3}\ cis3\theta *r\ cis\theta =r^{4}\ cis(3\theta +\theta )=r^{4}\ cis4\theta }
Na ovaj način dobijamo opšti oblik De Moavrova teorema koji ima važnu ulogu u elektrotehnici
( cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos n ϕ + i sin n ϕ {\displaystyle (\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi \,} [12]
Izvori Kompleksni brojevi Arhivirano 2017-04-07 na Wayback Machine-u Kompleksni brojevi KOMPLEKSNI - BROJEVI Skup kompleksnih brojeva Arhivirano 2017-04-07 na Wayback Machine-u Reference Kompleksan broj na Wikimedijinoj ostavi
↑ „imaginarna jedinica”. Arhivirano iz originala na datum 2017-04-07. Pristupljeno 2016-04-21 . ↑ „Računske operacije su definirane”. Arhivirano iz originala na datum 2017-04-07. Pristupljeno 2016-04-21 . ↑ „Aksiomi polja kompleksnih brojeva”. Arhivirano iz originala na datum 2017-04-07. Pristupljeno 2016-04-21 . ↑ „Aksiomi polja kompleksnih brojeva”. Arhivirano iz originala na datum 2017-04-07. Pristupljeno 2016-04-21 . ↑ Konjugovano komleksni broj kompleksnog broja ↑ „Kompleksno-konjugirani brojevi”. Arhivirano iz originala na datum 2017-04-07. Pristupljeno 2016-04-21 . ↑ stepenovanje/19.februar 2014. ↑ Moavrova formula: ↑ Modul kompleksnog broj Arhivirano 2017-04-07 na Wayback Machine-u a ↑ Sada, kada smo odredili brojeve, možemo ih pomnožiti:19. februar 2014 ↑ u opštem slučaju važi 19. februar 2014. ↑ De Moavrova formula 21.februar 2014.