Matrice pozitiv definită

Acest articol are nevoie de ajutorul dumneavoastră.
Puteți contribui la dezvoltarea și îmbunătățirea lui apăsând butonul Modificare.

O matrice pătrată de numere reale se numește pozitiv definită dacă prin înmulțire la stânga și la dreapta cu un același vector nenul se obține o valoare strict pozitivă:

∀ x ∈ R n ∖ { 0 } ,   x ⊤ A x > 0 {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{0\}\,,\ x^{\top }\!A\,x>0}

unde x {\displaystyle x} este considerat vector coloană și x ⊤ {\displaystyle x^{\top }} este transpusul lui (ca vector linie).

Dacă A este o matrice pozitiv definită, atunci ( x , y ) ↦ y ⊤ A x {\displaystyle (x,y)\mapsto y^{\top }\!A\,x} definește un produs scalar.

O posibilitate de a determina dacă o matrice este pozitiv definită este regula lui Sylvester: se calculează toți determinanții formați din primele linii și primele coloane ale matricii; dacă toți au valoare strict mai mare decât zero atunci matricea este pozitiv definită.

O condiție suficientă pentru ca o matrice A să fie pozitiv definită este să fie simetrică, cu diagonala dominantă și a i i > 0 {\displaystyle a_{ii}>0} pentru 1 ≤ i ≤ n . {\displaystyle 1\leq i\leq n.}

 Acest articol legat de matematică este deocamdată un ciot. Poți ajuta Wikipedia prin completarea lui.