Limită a unui șir

Termenul de limită a unui șir este unul dintre cele mai importante concepte ale analizei matematice reale, fiind un caz particular al conceptului de limită. Acesta oferă definiția riguroasă a faptului că un șir converge spre un anumit punct numit limită.

Istoric

Conceptul are ca punct de plecare probleme practice de calcul, de exemplu al dobânzii cu capitalizare.

Definiție

• Pentru un șir de numere reale ${\displaystyle \{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;}$

Un număr real L se numește limita șirului x_n, notându-se sub forma:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L,}$

dacă și numai dacă pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N avem |x_n−L| < ε.

• Pentru un șir de puncte ${\displaystyle \{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;}$ într-un spațiu metric M, cu funcția-distanță d (cum ar fi un șir de numere raționale, numere reale, numere complexe, puncte într-un spațiu normat):

Un element ${\displaystyle L\in M}$ este numit limita șirului și se notează:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L,}$

dacă și numai dacă, pentru orice număr real ε > 0, există un număr natural N astfel încât pentru orice n > N, d(x_n,L) < ε.

Exemple

• Șirul 1, -1, 1, -1, 1, ... este divergent.
• Șirul 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... are limita 1. Acesta este un exemplu de serie infinită.
• Dacă a este un număr real cu modul|a| < 1, atunci șirul aⁿ are limita zero. Dacă 0 < a, atunci șirul a^1/n are limita 1.

De asemenea:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0{\hbox{, dacă }}p>0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{n}=0{\hbox{, dacă }}|a|<1}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}}=1}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}}=1{\hbox{, dacă }}a>0}$

Cazul șirurilor de funcții

Definiție. Fie ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ un șir de funcții, ${\displaystyle f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} .}$ Se spune că șirul ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ este punctual convergent pe ${\displaystyle [a,b]}$ către f pentru ${\displaystyle n\to \infty }$ și se scrie ${\displaystyle f_{n}{\overset {PC}{\longrightarrow }}f}$ dacă ${\displaystyle f_{n}(x_{0})\to f(x_{0})}$ (în ${\displaystyle \mathbb {R} }$) pentru ${\displaystyle \forall x\in [a,b].}$

Definiție. Un șir ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ de funcții ${\displaystyle f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} .}$ se numește uniform convergent pe ${\displaystyle [a,b]}$ către o funcție ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} .}$ și se scrie ${\displaystyle f_{n}{\overset {UC}{\longrightarrow }}f}$  dacă este îndeplinită următoarea condiție:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\;\exists N(\varepsilon )}$ natural astfel încât ${\displaystyle \forall n\geq N(\varepsilon )}$ să existe relația ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\varepsilon ,}$ pentru ${\displaystyle \forall x\in [a,b].}$

Teoremă.

(a) Un șir ${\displaystyle (f_{n})_{n}}$ de funcții mărginite, ${\displaystyle f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} }$ (adică: ${\displaystyle f_{n}\in {\mathcal {M}},\;\forall n\geq 0}$) este uniform convergent către o funcție ${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}}$ dacă și numai dacă ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|=0.}$

(b) Orice șir de funcții ${\displaystyle f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R} }$ uniform convergent pe ${\displaystyle [a,b]}$ este punctual convergent pe ${\displaystyle [a,b];}$ reciproca este falsă.

Exemplu

Fie ${\displaystyle [a,b]=[0,1]}$ și ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n},\;n\geq 1.}$ Evident ${\displaystyle \forall x\in [a,b]:}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }={\begin{cases}0,&daca\;x\in [0,1)\\1,&daca\;x=1\end{cases}}}$

adică ${\displaystyle f_{n}{\overset {PC}{\longrightarrow }}f,}$ unde:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0,&daca\;x\in [0,1)\\1,&daca\;x=1\end{cases}}}$

Dar ${\displaystyle \|f_{n}-f\|=\sup _{x\in [0,1)}|f_{n}(x)-f(x)|=\max(\sup _{x\in [0,1)}f_{n}(x)-f(x),\;f_{n}(1)-f(1)|)=\max(\sup _{x\in [0,1)}x^{n},0)=1,\;}$ deci ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|=1\neq 0.}$ Așadar, șirul ${\displaystyle f_{n}}$ este ${\displaystyle PC,}$ dar nu este ${\displaystyle UC}$ pe ${\displaystyle [0,1).}$

Vezi și

• Șir convergent
• Limită a unei funcții
• Funcție exponențială
• Dobândă

Legături externe

• en Exemple de șiruri Arhivat în 15 decembrie 2010, la Wayback Machine.
• en A history of the calculus Arhivat în 5 septembrie 2004, la Wayback Machine.