Formula lui Moivre este o egalitate ce face legătura între numere complexe și trigonometrie. Poartă numele matematicianului Abraham de Moivre, care în 1707 a obținut egalitatea:
![{\displaystyle \cos x={\frac {1}{2}}(\cos(nx)+i\sin(nx))^{1/n}+{\frac {1}{2}}(\cos(nx)-i\sin(nx))^{1/n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aeec9b8ae4a8041304c3e2992e09923548b2f67)
pe care a reușit să o demonstreze pentru orice
Pornind de la aceasta, de Moivre sugerează că are loc și relația:
(formula lui Moivre)
Leonhard Euler a demonstrat-o utilizând formula lui Cotes.
Cea mai simplă demonstrație a formulei face apel la metoda inducției matematice. Astfel în cazul inițial pentru
formula este verificată.
Acum se trece la demonstrarea pasului inductiv presupunând formula adevărată pentru
adică:
![{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{k}=r^{k}(\cos kx+i\sin kx),a=cosx,b=sinx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9af1531424a44a6bc9abe0ac761f382cf033358)
și se arată de aici valabilitatea formulei și pentru
Într-adevăr,
![{\displaystyle =(\cos kx\cdot \cos x-\sin kx\cdot \sin x)+i(\sin kx\cdot \cos x+\sin x\cdot \cos kx)=\cos(k+1)x+i\sin(k+1)x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60862594566bcce0e9a680b782e161b52a9b7026)
Cazul puterii cu exponent rațional
Formula lui Moivre este valabilă și pentru
întreg negativ. Dacă în locul lui n este introdus inversul său ca exponent fracționar
și se ia
se obține:
![{\displaystyle 1^{1/n}=\cos {\frac {2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {2k\pi }{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edf36ad234d166add69f4bd55b918b58632ee020)
care are n valori diferite când k parcurge mulțimea
Acestea sunt de fapt rădăcinile de ordinul n ale unității, situate pe cercul unitate.