Produto de Euler

Leonhard Euler.

Em matemática, um produto de Euler é a expansão de um produto infinito, indexado por números primos p de uma série de Dirichlet. O nome surge do caso especial da função zeta de Riemann, cuja representação em forma de produto, foi provada por Leonhard Euler em 1737.

Definição

Em geral, uma série de Dirichlet da forma

∑ n a ( n ) n − s {\displaystyle \sum _{n}a(n)n^{-s}\,}

onde a(n) é uma função multiplicativa de n, pode ser escrita da forma

∏ p P ( p , s ) {\displaystyle \prod _{p}P(p,s)\,}

onde P(p,s) é a soma

1 + a ( p ) p − s + a ( p 2 ) p − 2 s + ⋯ . {\displaystyle 1+a(p)p^{-s}+a(p^{2})p^{-2s}+\cdots .}

Ver também

Referências

  • Euler, Leonhard, Variae observations circa series infinitas, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 1744, p. 160-188. Reimpresso em Opera Omnia Series I volume 14, p. 216-244.
  • G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 (1954) Princeton University Press L.C. Card 53-6388

Ligações externas

  • «www.EulerArchive.org» (em inglês) 
  • Euler, Leonhard, Variae observations circa series infinitas, Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 9 (1737), 1744, p. 160-188 (Traduzido para o inglês) [1][ligação inativa]
  • Ramanujan lost notebook [2]
  • «Euler product» (em inglês). - planetmath.org 
  • «Euler product» (em inglês). - Wolffram.Mathworld.com 
  • Portal da matemática