Princípio de Fermat

O Princípio de Fermat, em ótica é um princípio do tipo extremo e estabelece que:

Este enunciado não é completo e não cobre todos os casos, mas existe uma forma moderna do Princípio de Fermat que diz:

Isso que dizer que, se expressarmos o trajeto percorrido pela luz entre dois pontos ${\displaystyle 0_{1}}$ e ${\displaystyle 0_{2}}$ por meio de uma função chamada caminho ótico definida como ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{O_{1}O_{2}}[n({\vec {r}})]}$ a trajetória real da luz seguirá um caminho extremo a respeito desta função:

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{O_{1}O_{2}}[n({\vec {r}})]=\delta \int _{O_{1}}^{O_{2}}{n({\vec {r}})ds}=0.}$

A característica importante como diz o enunciado, é que as trajetos próximos ao "verdadeiro" requerem tempos aproximadamente iguais. Desta forma, o Princípio de Fermat lembra o Princípio de Hamilton e as Equações de Euler-Lagrange.

Vejamos alguns exemplos da aplicação do princípio para deduzir as leis da Ótica Geométrica.^[1]

Equação da trajetória de um raio luminoso

A equação da trajetória de um raio luminoso real em um sistema ótico é:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}n({\vec {r}})-{\frac {d}{ds}}\left[n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right]=0}$

e se deduz a partir do Princípio de Fermat.

Aplicando o princípio de Fermat, toda variação sobre uma trajetória de um raio luminoso real deve ser nula. Portanto;

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{O_{1}O_{2}}[n({\vec {r}})]=\delta \int _{O_{1}}^{O_{2}}{n({\vec {r}})ds}=\int _{O_{1}}^{O_{2}}{\delta (n({\vec {r}}))ds}+\int _{O_{1}}^{O_{2}}{n({\vec {r}})\delta (ds)}=}$

=${\displaystyle \int _{O_{1}}^{O_{2}}{{\vec {\nabla }}n({\vec {r}})\cdot \delta {\vec {r}}ds}+\int _{O_{1}}^{O_{2}}{n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\cdot {\frac {d(\delta {\vec {r}})}{ds}}ds}=\int _{O_{1}}^{O_{2}}{{\vec {\nabla }}n({\vec {r}})\cdot \delta {\vec {r}}ds}+\left[n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\cdot \delta {\vec {r}}\right]_{O_{1}}^{O_{2}}-\int _{O_{1}}^{O_{2}}{{\frac {d}{ds}}\left[n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right]\cdot \delta {\vec {r}}ds}=0.}$

Quando a variação sobre os extremos não existe resta que:

${\displaystyle \int _{O_{1}}^{O_{2}}{\left[{\vec {\nabla }}n({\vec {r}})-{\frac {d}{ds}}\left(n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right)\right]\cdot \delta {\vec {r}}ds}=0\qquad \forall \delta {\vec {r}}}$

portanto o integrando deve se anular e resta a equação da trajetória.^[2]

A interpretação da equação é importante. A trajetória permanece no plano e ele que varia o índice de refração ${\displaystyle n({\vec {r}})}$. Isso pode ser observado escrevendo a equação em termos dos vetores unitários ${\displaystyle {\hat {u}}_{t}}$ e ${\displaystyle {\hat {u}}_{n}}$:

${\displaystyle {\vec {\nabla }}n({\vec {r}})={\frac {d}{ds}}\left[n({\vec {r}}){\frac {d{\vec {r}}}{ds}}\right]={\frac {dn({\vec {r}})}{ds}}{\frac {d{\vec {r}}}{ds}}+n({\vec {r}}){\frac {d^{2}{\vec {r}}}{ds^{2}}}={\frac {dn({\vec {r}})}{ds}}{\hat {u}}_{t}+{\frac {n({\vec {r}})}{\rho ({\vec {r}})}}{\hat {u}}_{n}}$

sendo ${\displaystyle \rho }$ o raio da circunferência osculatriz no ponto ${\displaystyle {\vec {r}}}$ à trajetória.^[1]

Lei da reflexão

Ver artigo principal: lei de Snell

Se supormos que um raio de luz sai do ponto A em direção a uma superfície plana, que suponhamos seja refletora, e viaja até um ponto B. Qual será a trajetória seguida pela luz? Neste caso a luz viaja durante todo o caminho pelo mesmo meio, com o mesmo índice de refração e, portanto, com a mesma velocidade. Assim, o tempo necessário para percorrer o caminho entre A e B (passando pela superfície P) será a distância APB dividida pela velocidade da luz no meio. Como a velocidade é uma constante, a trajetória real, que segue o Princípio de Fermat, será a mais curta.^[3]

Lei da refração

Ver artigo principal: lei de Snell

Com o Princípio de Fermat se pode deduzir a Lei de Snell, que afirma que o produto do índice de refração do primeiro meio de propagação com o seno do ângulo de incidência é equivalente ao produto do índice de propagação do segundo meio com o seno do ângulo refratado.^[4]

${\displaystyle n_{1}\ \sin {\alpha _{1}}=n_{2}\ \sin {\alpha _{2}}}$

Ao apresentar o fenômeno analiticamente, em um plano cartesiano:

Seja um meio de propagação com índice de refração ${\displaystyle n_{1}\ }$ e um segundo meio de propagação com índice de refração ${\displaystyle n_{2}\ }$ tais que situamos a superfície que separa os dois meios de modo que coincida com o eixo das abcissas.

Sejam ${\displaystyle A=(x_{A},\;y_{A})}$ e ${\displaystyle B=(x_{B},\;y_{B})}$ dois pontos fixos situados do plano, de modo que A está situado no primeiro meio, e B no segundo meio.

Seja um raio de luz que se propaga de A a B atravessando a superfície que separa os dois meios no ponto ${\displaystyle P=(x,\;0)}$.

O seguinte passo é deduzir o tempo que demora o raio para percorrer ${\displaystyle {\overline {AP}}}$ e ${\displaystyle {\overline {PB}}}$.

Sejam ${\displaystyle v_{1}}$ e ${\displaystyle v_{2}}$ as velocidades de propagação da luz no primeiro e segundo meio respectivamente.

${\displaystyle t_{1}={\frac {\overline {AP}}{v_{1}}}={\frac {\sqrt {(x_{A}\ -x)^{2}\ +{y_{A}}^{2}}}{v_{1}}}}$; ${\displaystyle t_{2}={\frac {\overline {PB}}{v_{2}}}={\frac {\sqrt {(x-x_{B})^{2}\ +{y_{B}}^{2}}}{v_{2}}}}$

${\displaystyle t={\frac {\sqrt {(x_{A}\ -x)^{2}\ +{y_{A}}^{2}}}{v_{1}}}+{\frac {\sqrt {(x-x_{B})^{2}\ +{y_{B}}^{2}}}{v_{2}}}}$

Se buscarmos o valor de ${\displaystyle x\ }$ quando ${\displaystyle t\ }$ é mínimo, é equivalente ao encontramos o valor de ${\displaystyle x\ }$ para o qual a função derivada de ${\displaystyle t\ }$ assume valor 0.

${\displaystyle {\frac {dt}{dx}}=-{\frac {x_{A}\ -x}{v_{1}\ {\sqrt {(x_{A}\ -x)^{2}\ +{y_{A}}^{2}}}}}+{\frac {x-x_{B}\ }{v_{2}\ {\sqrt {(x-x_{B}\ )^{2}\ +{y_{B}}^{2}}}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {x_{A}\ -x}{v_{1}\ {\sqrt {(x_{A}\ -x)^{2}\ +{y_{A}}^{2}}}}}={\frac {x_{B}-x\ }{v_{2}\ {\sqrt {(x-x_{B}\ )^{2}\ +{y_{B}}^{2}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {x_{A}\ -x}{v_{1}\ {\overline {AP}}}}={\frac {x_{B}-x\ }{v_{2}\ {\overline {PB}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{v_{1}\ }}\sin {\alpha _{1}}={\frac {1}{v_{2}\ }}\sin {\alpha _{2}}}$

${\displaystyle {\frac {c}{v_{1}\ }}\sin {\alpha _{1}}={\frac {c}{v_{2}\ }}\sin {\alpha _{2}}}$

${\displaystyle n_{1}\ \sin {\alpha _{1}}=n_{2}\ \sin {\alpha _{2}}}$ ^[5]

Referências