Matriz totalmente positiva

Em matemática, uma matriz totalmente positiva é uma matriz quadrada na qual todos os menores são positivos, ou seja, o determinante de toda submatriz quadrada é um número positivo.^[1] Uma matriz totalmente positiva tem todas as entradas positivas, sendo assim também uma matriz positiva; e tem todos os menores principais positivos (e autovalores positivos), por isso também é uma matriz positiva definida. Uma matriz totalmente não negativa é definida de forma semelhante, exceto que todos os menores devem ser não negativos (positivos ou nulos). Alguns autores usam "totalmente positiva" para incluir todas as matrizes totalmente não negativas.

Definição

Seja ${\displaystyle \mathbf {A} =(A_{ij})_{ij}}$ uma matrix n × n. Considere qualquer ${\displaystyle p\in \{1,2,\ldots ,n\}}$ e qualquer submatriz p × p da forma ${\displaystyle \mathbf {B} =(A_{i_{k}j_{\ell }})_{k\ell }}$ onde:

${\displaystyle 1\leq i_{1}<\ldots <i_{p}\leq n,\qquad 1\leq j_{1}<\ldots <j_{p}\leq n.}$

Então A é uma matriz totalmente positiva se:^[2]

${\displaystyle \det(\mathbf {B} )>0}$

para todas as submatrizes ${\displaystyle \mathbf {B} }$ que pode ser formada desta forma.

Referências

Leitura adicional

• Allan Pinkus (2009), Totally Positive Matrices, ISBN 9780521194082, Cambridge University Press 

Ligações externas

• Spectral Properties of Totally Positive Kernels and Matrices, Allan Pinkus
• Parametrizations of Canonical Bases and Totally Positive Matrices, Arkady Berenstein
• Tensor Product Multiplicities, Canonical Bases And Totally Positive Varieties (2001), A. Berenstein , A. Zelevinsky