Lógica intermediária

Na lógica matemática, a lógica superintuicionista é a lógica proposicional estendendo a lógica intuicionista. Lógica clássica é a lógica superintuicionista consistente mais forte; assim, a lógica superintuicionista consistente é chamada de lógica intermediária (a lógica é intermediária entre lógica intuicionista e a lógica clássica).

Definição

A lógica superintuicionista é um conjunto L de fórmulas proposicionais sobre um conjunto contável de variáveis p_i satisfazendo as seguintes propriedades:

1. todos axiomas da lógica intuicionista pertence a L;

2. se F e G são fórmulas tal que F e F → G pertencem a L, logo G também pertence a L (fechado sob modus ponens);

3. se F(11p11₁, p₂, ..., p_n) é a fórmula de L, e G₁, G₂, ..., G_n são fórmulas quaisquer, então F(G₁, G₂, ..., G_n) pertence a L (fechado sob substituição).

Essa fórmula será intermediária se além disso

4. L não for o conjunto de todas as fórmulas.

Propriedades e exemplos

Existe um contínuo de diferentes lógicas intermediárias. Lógicas intermediárias específicas são muitas vezes construídas por adição de um ou mais axiomas à lógica intuicionista, ou por uma descrição semântica. Exemplos de lógica intermediária incluem:

• lógica intuicionista(IPC, Int, IL, H)
• lógica clássica (CPC, Cl, CL): IPC + p ∨ ¬p = IPC + ¬¬p → p = IPC + ((p → q) → p) → p
• a lógica da lei do terceiro excluído (KC, lógica de Jankov, lógica de De Morgan ^[1]): IPC + ¬¬p ∨ ¬p
• lógica de Gödel–Dummett (LC, G): IPC + (p → q) ∨ (q → p)
• lógica de Kreisel–Putnam(KP): IPC + (¬p → (q ∨ r)) → ((¬p → q) ∨ (¬p → r))
• lógica de problemas finitos de Medvedev (LM, ML): definido semanticamente como a lógica de todas estruturas da forma ${\displaystyle \langle {\mathcal {P}}(X)\setminus \{X\},\subseteq \rangle }$ para conjuntos finitos X ("Booleano 'hypercubes' sem topo"), Desde 2010^[update] não conhecida por ser recursivamente axiomatizada.
• lógica da realizabilidade
• lógica de Scott (SL): IPC + ((¬¬p → p) → (p ∨ ¬p)) → (¬¬p ∨ ¬p)
• lógica de Smetanich (SmL): IPC + (¬q → p) → (((p → q) → p) → p)
• lógica da cardinalidade limitada (BC_n): ${\displaystyle \textstyle \mathbf {IPC} +\bigvee _{i=0}^{n}{\bigl (}\bigwedge _{j<i}p_{j}\to p_{i}{\bigr )}}$
• lógica da largura limitada, também conhecida como a delimitada 'anti-cadeias' (BW_n, BA_n): ${\displaystyle \textstyle \mathbf {IPC} +\bigvee _{i=0}^{n}{\bigl (}\bigwedge _{j\neq i}p_{j}\to p_{i}{\bigr )}}$
• lógica de profundidade limitada (BD_n): IPC + p_n ∨ (p_n → (p_n−1 ∨ (p_n−1 → ... → (p₂ ∨ (p₂ → (p₁ ∨ ¬p₁)))...)))
• lógica de largura superior limitada BTW_n): ${\displaystyle \textstyle \mathbf {IPC} +\bigvee _{i=0}^{n}{\bigl (}\bigwedge _{j<i}p_{j}\to \neg \neg p_{i}{\bigr )}}$
• lógica de ramificação limitada (T_n, BB_n): ${\displaystyle \textstyle \mathbf {IPC} +\bigwedge _{i=0}^{n}{\bigl (}{\bigl (}p_{i}\to \bigvee _{j\neq i}p_{j}{\bigr )}\to \bigvee _{j\neq i}p_{j}{\bigr )}\to \bigvee _{i=0}^{n}p_{i}}$
• lógica n-valorada de Gödel(G_n): LC + BC_n−1 = LC + BD_n−1

Lógica superintuicionista ou intermediária formam um reticulado completo com lógica intuicionista como a bottom e a lógica inconsistente (no caso de lógica super-intuicionista) ou lógica clássica (no caso de lógica intermediária) como o topo. Lógica clássica é co-átomo na grade da lógica superintuicionista; o reticulado das lógica intermediárias também tem um único co-átomo, denominado SmL.

As ferramentas para estudo da lógica intermediária são similares aos usados para a lógica intuicionista, tal como a semântica de Kripke. Por exemplo, lógica de Gödel–Dummett tem uma caracterização semântica simples em termos de ordem total.

Semânticas

Dada a álgebra de Heyting H, o conjunto de fórmulas proposicionais que são válidas em H é uma lógica intermediária. Por outro lado, dada a lógica intermediária é possível a construção da álgebra de Lindenbaum que é uma álgebra de Heyting.

Uma estrutura Kripke intuicionista F é o conjunto parcialmente ordenado, e o modelo Kripke M é a estrutura de Kripke com valoração tal qual ${\displaystyle \{x\mid M,x\Vdash p\}}$ é um segmento inicial de F. O conjunto de fórmulas proposicional que são válidos em F são lógica intermediária. Dada a lógica intermediária L é possível construir um modelo Kripke M tal qual a lógica de M é L (essa construção é chamada modelo canônico). A estrutura de Kripke com essa propriedade pode não existir, mas uma estrutura geral sempre existe.

Relação com lógicas modais

Ver artigo principal: Modal companion

Seja A uma fórmula proposicional. A tradução de Gödel–Tarski de A é definida recursivamente como:

• ${\displaystyle T(p_{n})=\Box p_{n}}$
• ${\displaystyle T(\neg A)=\Box \neg T(A)}$
• ${\displaystyle T(A\land B)=T(A)\land T(B)}$
• ${\displaystyle T(A\vee B)=T(A)\vee T(B)}$
• ${\displaystyle T(A\to B)=\Box (T(A)\to T(B))}$

Se M é a Lógica_modal estendendo a S4 então ρM = {A | T(A) ∈ M} é uma lógica super-intuicionista, e M é chamada de acompanhamento modal' de ρM. Em particular:

• IPC = ρS4
• KC = ρS4.2
• LC = ρS4.3
• CPC = ρS5

Para cada lógica intermediária L existem várias lógicas modais M tal qual L = ρM.

Referências

• Toshio Umezawa. On logics intermediate between intuitionistic and classical predicate logic. Journal of Symbolic Logic, 24(2):141–153, June 1959.
• Alexander Chagrov, Michael Zakharyaschev. Modal Logic. Oxford University Press, 1997.