Identidades de Green

As identidades de Green formam um conjunto de três igualdades vetoriais envolvendo integrais.

Enunciado

Seja ${\displaystyle U\,}$ um conjunto aberto limitado de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ com fronteira ${\displaystyle \partial U\in C^{1}\,}$. Se ${\displaystyle u,v\,\in C^{2}({\overline {U}})\,}$, então:

1. ${\displaystyle \int _{U}\Delta udx=\int _{\partial U}{\frac {\partial u}{\partial \nu }}dS\,}$
2. ${\displaystyle \int _{U}Du\cdot Dvdx=-\int _{U}u\Delta vdx+\int _{\partial U}{\frac {\partial v}{\partial \nu }}udS\,}$
3. ${\displaystyle \int _{U}(u\Delta v-v\Delta u)dx=\int _{\partial U}({\frac {\partial v}{\partial \nu }}u-{\frac {\partial u}{\partial \nu }}v)dS\,}$

onde ${\displaystyle \nu \,}$ é o vetor unitário exterior normal.

Primeira identidade de Green^[1]

Essa identidade é derivada do teorema da divergência aplicada ao campo vetorial ${\displaystyle F=\psi \nabla \varphi }$ e usando a identidade ${\displaystyle \nabla (\varphi X)=\nabla \varphi X+\varphi \nabla X}$ onde ${\displaystyle \varphi }$e ${\displaystyle \psi }$são funções escalares definidas em alguma região ${\displaystyle U\subset R^{d}}$, e supondo que ${\displaystyle \varphi }$é duas vezes continuamente diferenciável, e ${\displaystyle \psi }$é uma vez continuamente diferenciável. Então:

${\displaystyle \int _{U}(\psi \nabla \varphi +\nabla \psi \nabla \varphi )dV=\oint _{\partial U}\psi (\nabla \varphi n)dS=\oint _{\partial U}\psi \nabla \varphi dS}$

onde ${\displaystyle \Delta \equiv \nabla ^{2}}$é o operador laplaciano, ${\displaystyle \partial U}$é a limite da região ${\displaystyle U}$, n é a unidade normal que aponta para fora dos elementos de superfície ${\displaystyle dS}$e ${\displaystyle dS}$é o elemento de superfície orientada.

Esse teorema é um caso especial do teorema da divergência, e é essencialmente equivalente dimensional superior da integração por partes com ${\displaystyle \psi }$ e o gradiente de ${\displaystyle \varphi }$substituindo ${\displaystyle u}$ e ${\displaystyle v}$.

Note que a primeira identidade de Green acima é um caso especial da identidade geral derivado do teorema da divergência substituindo ${\displaystyle F=\psi \Gamma ,}$

${\displaystyle \int _{U}(\psi \nabla \Gamma +\Gamma \nabla \psi )dV=\oint _{\partial U}\psi (\Gamma n)dS=\oint _{\partial U}\psi \Gamma dS.}$

Segunda identidade de Green

Se ${\displaystyle \varphi }$ e ${\displaystyle \psi }$ forem ambos duas vezes continuamente diferenciáveis em ${\displaystyle U\subset R^{3}}$, e ${\displaystyle \varepsilon }$ uma vez continuamente diferenciável, é possível escolher ${\displaystyle F=\psi \varepsilon \nabla \varphi -\varphi \varepsilon \nabla \psi }$ para obter

${\displaystyle \int _{U}[\psi \nabla (\varepsilon \nabla \varphi )-\varphi \nabla (\varepsilon \nabla \psi )]dV=\oint _{\partial U}\varepsilon (\psi {\partial \phi \over \partial n}-\varphi {\partial \psi \over \partial n})dS.}$

Para o caso especial de ${\displaystyle \varepsilon }$= 1 em todo ${\displaystyle U\subset R^{3}}$, então,

${\displaystyle \int _{U}(\psi \Delta \varphi -\varphi \Delta \psi )dV=\oint _{\partial U}(\psi {\partial \varphi \over \partial n}-\varphi {\partial \psi \over \partial n})dS.}$

Na equação acima, ∂φ/∂n é a derivada direcional de ${\displaystyle \varphi }$na direção do normal n apontada fora para o elemento de superfície ${\displaystyle dS}$,

${\displaystyle {\partial \varphi \over \partial n}=\nabla \varphi n=\nabla n\varphi .}$

Em particular, essa demonstração do Laplaciano auto-adjunto no produto interno de ${\displaystyle L^{2}}$ para funções desaparecendo nos limites.

Terceira identidade de Green

A terceira identidade de Green deriva da segunda identidade ao escolher ${\displaystyle \varphi =G}$, onde a função ${\displaystyle G}$de Green é considerada uma solução fundamental do operador de Laplace ${\displaystyle \Delta }$. Isso significa que:

${\displaystyle \Delta G(x,\eta )=\delta (x-\eta .)}$

Por exemplo, em ${\displaystyle R^{3}}$, a solução tem a forma

${\displaystyle G(x,\eta )={-1 \over 4\pi ||x-\eta ||}.}$

A terceira identidade de Green diz que se ${\displaystyle \psi }$ é uma função duas vezes continuamente diferenciável em ${\displaystyle U}$, então

${\displaystyle \int _{U}[G(y,\eta )\Delta \psi (y)]dVy-\psi (\eta )=\oint _{\partial U}[G(y,\eta ){\partial \psi \over \partial n}(y)-\psi (y){\partial G(y,\eta ) \over \partial n}]dSy.}$

A simplificação surge se ${\displaystyle \psi }$for uma função harmônica. Então ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0}$e a identidade é simplificada para

${\displaystyle \psi (\eta )=\oint _{\partial U}[\psi (y){\partial G(y,\eta ) \over \partial n}-G(y,\eta ){\partial \psi \over \partial n}(y)]dSy.}$

O segundo termo na integral acima pode ser eliminado se G é escolhido para ser a função de Green para o limite da região ${\displaystyle U}$ onde o problema é colocado,

${\displaystyle \psi (\eta )=\oint _{\partial U}\psi (y){\partial G(y,\eta ) \over \partial n}dS.}$

Essa forma é usada para construir soluções de problemas de contorno de Dirichlet. Para achar soluções para os problemas de contorno de Neumann, a função de Green com desaparecimento do gradiente normal nos limites é usada.

É possível verificar que a identidade acima também se aplica quando ${\displaystyle \psi }$é a solução para a equação de Helmholtz ou equação de onda e ${\displaystyle G}$é a função de Green apropriada. Nesse contexto, a identidade é matematicamente expressa como o princípio de Huygens.