Ceviana

Em geometria, as cevianas são segmentos de reta que partem do vértice do triângulo para o lado oposto. Medianas, alturas e bissetrizes são casos especiais de cevianas. O nome ceviana vem do engenheiro italiano Giovanni Ceva, que formulou o Teorema de Ceva, que dá condições para que três cevianas sejam concorrentes.

Comprimento da ceviana

Ver artigo principal: Teorema de Stewart
Um triângulo com uma ceviana

O comprimento de uma ceviana pode ser determinado pelo Teorema de Stewart. No diagrama, o comprimento d {\displaystyle d} pode ser determinado através da fórmula

b 2 m + c 2 n = a ( d 2 + m n ) . {\displaystyle \,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}

Se a ceviana é uma mediana, o seu comprimento pode ser determinado através da fórmula

m ( b 2 + c 2 ) = a ( d 2 + m 2 ) {\displaystyle \,m(b^{2}+c^{2})=a(d^{2}+m^{2})}

ou

2 ( b 2 + c 2 ) = 4 d 2 + a 2 {\displaystyle \,2(b^{2}+c^{2})=4d^{2}+a^{2}}

já que

a = m + n . {\displaystyle \,a=m+n.}

Se a ceviana é uma bissetriz, o seu comprimento pode ser determinado através da fórmula

( b + c ) 2 = a 2 ( d 2 m n + 1 ) . {\displaystyle \,(b+c)^{2}=a^{2}\left({\frac {d^{2}}{mn}}+1\right).}

Se a ceviana é uma altura, o seu comprimento pode ser determinado através da fórmula

d 2 = b 2 − n 2 = c 2 − m 2 . {\displaystyle \,d^{2}=b^{2}-n^{2}=c^{2}-m^{2}.}

Ver também

  • Mediana
  • Bissetriz
  • Altura
  • Teorema de Ceva
  • Teorema de Stewart

Referências

  • Ross Honsberger (1995) Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, pages 13 and 137, Mathematical Association of America.
  • Vladimir Karapetoff (1929) "Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle", American Mathematical Monthly 36:476–9.
  • Indika Shameera Amarasinghe (2011) A New Theorem on any Right-angled Cevian Triangle, Journal of the World Federation of National Mathematics Competitions, Vol 24(02), pp.29 - 37. (isso é a prova que wikipedia ñ é confiavel )