Axioma do conjunto vazio : Notas, Referências, Ligações externas Wikipédia, a enciclopédia livre

Axioma do conjunto vazio

Em teoria axiomática dos conjuntos, o axioma do conjunto vazio é um postulado lógico para garantir, formalmente, a existência de um conjunto sem elementos. O axioma possui, usando-se a linguagem da lógica formal^[1], o seguinte enunciado:

\exists x\,\forall y\,\lnot (y\in x).

Em palavras,

Existe um conjunto sem elemento algum.

Em algumas formulações da axiomática de Zermelo-Fraenkel, o axioma do conjunto vazio vem incluso no axioma do infinito; em outras não. Contudo, em qualquer modelo axiomático da teoria dos conjuntos que admita a existência de um conjunto e possua o axioma-esquema da separação, como Zermelo-Fraenkel, o axioma do conjunto vazio é derivado como teorema. Realmente, escolhe-se um predicado contraditório e aplica-se o axioma-esquema da separação para tal predicado. Por exemplo, se $x$ é um conjunto, escolhendo $\varphi (y):y\neq y$ temos que $\{y\in x:\varphi (y)\}=\{y\in x:y\neq y\}$ é um conjunto vazio.

Numa teoria axiomática de conjuntos em que o axioma-esquema da separação não é assumido, é preciso prová-lo como teorema usando o axioma-esquema da substituição; e, dependendo de como se formula o axioma-esquema da substituição, pode ser necessário assumir o axioma do conjunto vazio.

Notas

↑ lógica de primeira ordem

Referências

Burgess, John P (2005). Fixing Frege (em inglês). [S.l.]: Princeton University Press. ISBN 0-691-12231-8
Coniglio, Marcelo Esteban. Teoria Axiomática de Conjuntos: Uma Introdução (PDF). Campinas: Departamento de Filosofia da UNICAMP
Enderton, Herbert B (1977). Elements of Set Theory. San Diego: Academic Press. ISBN 978-0-12-238440-0
Jech, Thomas J (2003). Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded (em inglês). [S.l.]: Springer. ISBN 3-540-44085-2
Kunen, Kenneth (1980). Set Theory: An Introduction to Independence Proofs (em inglês). [S.l.]: North-Holland. ISBN 0-444-86839-9

Ligações externas

Axiom of Existence em ProofWiki (em inglês)
Theorem axnul 3699 em Metamath Proof Explorer (em inglês)

v d e Teoria dos conjuntos
Axiomas	Axioma da escolha Axioma da escolha numerável Princípio da Escolha Dependente Axioma da extensão Axioma do infinito Axioma do par Axioma da potência Axioma da regularidade Axioma da união Axioma da substituição Axioma da separação Hipótese do continuum Axioma de Martin Propriedade de grande cardinal
Operações	Produto cartesiano Teoremas de De Morgan Interseção Conjunto de partes Complementar Diferença simétrica União
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Conjuntos	Argumento de diagonalização de Cantor Conjunto contável Conjunto vazio Conjunto finito Conjunto difuso Conjunto hereditariamente finito Conjunto infinito Conjunto recursivo Subconjunto Conjunto transitivo Conjunto não enumerável Conjunto universo
Teorias	Teoria axiomática dos conjuntos Teorema de Cantor Forçamento Teoria de conjuntos de Morse–Kelley Teoria ingênua dos conjuntos New Foundations Paradoxos Principia mathematica Paradoxo de Russell Problema de Suslin NBG Teoria de conjuntos de Zermelo ZFC Teorias de conjuntos alternativas
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