Zbiór pierwszej kategorii

Zbiór pierwszej kategorii (czasami zbiór mizerny lub szczupły) – zbiór, który można przedstawić w postaci przeliczalnej sumy zbiorów nigdziegęstych.

Definicja formalna

Niech ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} będzie przestrzenią topologiczną. Powiemy, że zbiór A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} jest pierwszej kategorii Baire’a w X {\displaystyle X} (lub I kategorii) jeśli można go przedstawić jako sumę A = ⋃ n = 1 ∞ A n , {\displaystyle A=\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }A_{n},} gdzie każdy ze zbiorów A n {\displaystyle A_{n}} jest nigdziegęsty w X {\displaystyle X} (tzn. i n t ( c l ( A n ) ) = ∅ {\displaystyle \mathrm {int} {\big (}\mathrm {cl} (A_{n}){\big )}=\emptyset } ). Rodzinę wszystkich zbiorów pierwszej kategorii w X {\displaystyle X} będziemy oznaczać przez K ( X ) {\displaystyle {\mathcal {K}}(X)} (albo po prostu przez K {\displaystyle {\mathcal {K}}} jeśli jest jasne o jakiej przestrzeni topologicznej mówimy).

Zbiory które nie są pierwszej kategorii nazywane są zbiorami drugiej kategorii Baire’a (lub II kategorii).

Własności

  • Zbiory pierwszej kategorii w przestrzeni X {\displaystyle X} tworzą σ-ideał podzbiorów X . {\displaystyle X.} Każdy zbiór z K ( X ) {\displaystyle {\mathcal {K}}(X)} jest zawarty w pewnym zbiorze typu Fσ, który też jest pierwszej kategorii.
  • Otwarte niepuste podzbiory przestrzeni zupełnej nie są pierwszej kategorii w tej przestrzeni.
  • Doskonałe przestrzenie polskie wyglądają tak samo jeśli patrzymy na ich podzbiory borelowskie i zbiory pierwszej kategorii: jeśli X , Y {\displaystyle X,Y} są doskonałymi przestrzeniami polskimi to istnieje izomorfizm borelowski φ : X ⟶ Y {\displaystyle \varphi \colon X\longrightarrow Y} który zachowuje zbiory pierwszej kategorii (tzn. A ∈ K ( X ) {\displaystyle A\in {\mathcal {K}}(X)} wtedy i tylko wtedy, gdy φ ( A ) ∈ K ( Y ) {\displaystyle \varphi (A)\in {\mathcal {K}}(Y)} ).
  • Każda rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej R {\displaystyle \mathbb {R} } które nie są pierwszej kategorii jest co najwyżej przeliczalna.

Przykłady i zastosowanie

  • Każdy przeliczalny podzbiór prostej rzeczywistej R {\displaystyle \mathbb {R} } jest I kategorii w R . {\displaystyle \mathbb {R} .} W szczególności zbiór liczb wymiernych jest pierwszej kategorii (choć jest to gęsty podzbiór R {\displaystyle \mathbb {R} } ).
  • Prostą rzeczywistą R {\displaystyle \mathbb {R} } można przedstawić jako sumę dwóch zbiorów, R = K ∪ L , {\displaystyle \mathbb {R} =K\cup L,} takich że
K {\displaystyle K} jest zbiorem pierwszej kategorii, a
L {\displaystyle L} jest zbiorem miary zero Lebesgue’a.
Aby podać przykład takich zbiorów K , L {\displaystyle K,L} ustalmy numerację ⟨ q n : n = 1 , 2 , 3 , … ⟩ {\displaystyle \langle q_{n}\colon n=1,2,3,\dots \rangle } zbioru liczb wymiernych. (Przypomnijmy, że zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny.) Dla liczb naturalnych n , m {\displaystyle n,m} niech I m n {\displaystyle I_{m}^{n}} będzie odcinkiem otwartym o środku w q n {\displaystyle q_{n}} i długości 2 − ( n + m ) . {\displaystyle 2^{-(n+m)}.} Wówczas zbiór L = ⋂ m = 1 ∞ ⋃ n = 1 ∞ I m n {\displaystyle L=\bigcap \limits _{m=1}^{\infty }\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }I_{m}^{n}} jest miary zero, ale jego dopełnienie K = R ∖ L {\displaystyle K=\mathbb {R} \setminus L} jest pierwszej kategorii.
  • Inny przykład rozkładu jak powyżej jest dany przez liczby Liouville’a: zbiór liczb Liouville’a jest miary zero na prostej, a jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii.
  • Polski matematyk Stefan Banach przedstawił w 1931 następujące spektakularne zastosowanie zbiorów pierwszej kategorii. Niech C ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1])} będzie przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych z odcinka [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} w zbiór liczb rzeczywistych R . {\displaystyle \mathbb {R} .} Wyposażmy C ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1])} w topologię zbieżności jednostajnej zadanej przez metrykę
d ( f , g ) = sup { | f ( x ) − g ( x ) | : x ∈ [ 0 , 1 ] } . {\displaystyle d(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)|\colon x\in [0,1]\}.}
Wówczas C ( [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1])} jest przestrzenią polską. Rozważmy zbiór
N R = { f ∈ C ( [ 0 , 1 ] ) : f {\displaystyle NR={\big \{}f\in {\mathcal {C}}([0,1])\colon f} nie ma pochodnej w żadnym punkcie odcinka [ 0 , 1 ]   } . {\displaystyle [0,1]\ {\big \}}.}
Banach udowodnił, że zbiór C ( [ 0 , 1 ] ) ∖ N R {\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1])\setminus NR} jest pierwszej kategorii w C ( [ 0 , 1 ] ) , {\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1]),} czyli że z topologicznego punktu widzenia prawie każda funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.

Gra Banacha-Mazura

Ze zbiorami pierwszej kategorii związana jest (najprawdopodobniej) pierwsza z pozycyjnych gier nieskończonych rozważanych w matematyce. Gra ta była opisana przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w Problemie 43 w Księdze Szkockiej. Odpowiedź na pytanie Mazura była dana przez Stefana Banacha w 1935.

Niech Z będzie dowolnym podzbiorem R . {\displaystyle \mathbb {R} .} Rozważmy następującą grę dwóch graczy, oznaczanych przez A i B. Gracze wykonują nieskończenie wiele posunięć ponumerowanych liczbami naturalnymi n = 1 , 2 , 3 , … {\displaystyle n=1,2,3,\dots } Zaczynają w ten sposób, że Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty I 1 , {\displaystyle I_{1},} a Gracz B odpowiada przez wskazanie niepustego otwartego przedziału I 2 ⊆ I 1 . {\displaystyle I_{2}\subseteq I_{1}.} Kiedy gracze dochodzą do n {\displaystyle n} tego kroku w grze, to mają oni skonstruowany zstępujący ciąg niepustych przedziałów otwartych I 1 ⊇ I 2 ⊇ … I 2 n − 2 ⊇ I 2 n − 1 . {\displaystyle I_{1}\supseteq I_{2}\supseteq \ldots I_{2n-2}\supseteq I_{2n-1}.} Na n {\displaystyle n} tym etapie gry najpierw Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty I 2 n ⊆ I 2 n − 1 , {\displaystyle I_{2n}\subseteq I_{2n-1},} a potem Gracz B wskazuje niepusty otwarty przedział I 2 n + 1 ⊆ I 2 n . {\displaystyle I_{2n+1}\subseteq I_{2n}.}

Kiedy gracze wykonają już wszystkie posunięcia (jest ich nieskończenie wiele!), to decydujemy, że Gracz B wygrał partię ⟨ I n : n = 1 , 2 , 3 , 4 , … ⟩ {\displaystyle \langle I_{n}\colon n=1,2,3,4,\dots \rangle } wtedy i tylko wtedy, gdy ⋂ n = 1 ∞ I n ⊆ Z . {\displaystyle \bigcap \limits _{n=1}^{\infty }I_{n}\subseteq Z.}

Okazuje się, że Gracz B ma strategię zwycięską w tej grze wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór R ∖ Z {\displaystyle \mathbb {R} \setminus Z} jest pierwszej kategorii.

Zobacz też