Reprezentacja grupy

Reprezentacja grupy – każdy homomorfizm grupy w grupę przekształceń liniowych odwracalnych ustalonej przestrzeni liniowej nad zadanym ciałem.

Definicja

Reprezentacją grupy ${\displaystyle G}$ w przestrzeni liniowej ${\displaystyle V}$ nad ciałem ${\displaystyle K}$ jest homomorfizm grupy ${\displaystyle G}$ w pełną grupę liniową ${\displaystyle GL(V).}$

Wymiar przestrzeni wektorowej ${\displaystyle V}$ nazywamy wymiarem reprezentacji.

Minimalność

Jeśli ${\displaystyle G}$ jest skończona, to minimalnym (bądź wiernym) stopniem tej grupy, oznaczanym symbolem ${\displaystyle \mu (G),}$ nazywa się najmniejszą liczbę naturalną ${\displaystyle n,}$ dla której ${\displaystyle G}$ jest podgrupą grupy symetrycznej ${\displaystyle S_{n}}$ rzędu ${\displaystyle n;}$ dowolne takie zawieranie nazywa się minimalną (bądź wierną) reprezentacją grupy ${\displaystyle G.}$

Charaktery

Niech ${\displaystyle V}$ będzie zespoloną przestrzenią wektorową. Charakterem reprezentacji ${\displaystyle \varphi }$ nazywamy odwzorowanie ${\displaystyle \chi _{\varphi }\colon G\to \mathbb {C} ,\;\chi _{\varphi }(g)=\operatorname {tr} \,\varphi (g),}$ gdzie ${\displaystyle g\in G,}$ zaś ${\displaystyle \operatorname {tr} }$ jest operatorem śladu.

Iloczyny tensorowe i sumy proste

Suma prosta reprezentacji to odwzorowanie ${\displaystyle \oplus }$ przypisujące dwu reprezentacjom danej grupy nad tym samym ciałem reprezentację przypisującą każdemu elementowi grupy sumę prostą odwzorowań przypisywanych mu przez te reprezentacje.

Dla

${\displaystyle \varphi :G\to GL(V),}$

${\displaystyle \psi :G\to GL(W),}$

jest to

${\displaystyle \varphi \oplus \psi :G\to GL(V\oplus W),}$

${\displaystyle (\varphi \oplus \psi )(g)=\varphi (g)\oplus \psi (g).}$

Analogicznie iloczyn tensorowy reprezentacji to odwzorowanie ${\displaystyle \otimes }$ przypisujące dwu reprezentacjom danej grupy nad tym samym ciałem reprezentację przypisującą każdemu elementowi grupy iloczyn tensorowy odwzorowań przypisywanych mu przez te reprezentacje.

Dla

${\displaystyle \varphi :G\to GL(V),}$

${\displaystyle \psi :G\to GL(W),}$

jest to

${\displaystyle \varphi \otimes \psi :G\to GL(V\otimes W),}$

${\displaystyle (\varphi \otimes \psi )(g)=\varphi (g)\otimes \psi (g).}$

Zobacz też

• grupa SO(n)
• grupa SU(2)
• grupa SU(n)
• teoria grup

Bibliografia

• Jan Dereziński: Teoria grup. [dostęp 2011-02-26].