Przestrzeń lokalnie zwarta

Przestrzeń lokalnie zwarta – przestrzeń topologiczna, która lokalnie wygląda jak przestrzeń zwarta. Ściśle mówiąc, przestrzeń topologiczna ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} jest lokalnie zwarta jeśli każdy punkt x ∈ X {\displaystyle x\in X} ma bazę otoczeń złożoną ze zbiorów warunkowo zwartych.

Przykłady

Następujące przestrzenie topologiczne są lokalnie zwarte:

  • odcinek domknięty [ 0 , 1 ] , {\displaystyle [0,1],} zbiór Cantora i ogólniej każda przestrzeń zwarta,
  • prosta rzeczywista R {\displaystyle \mathbb {R} } i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych R n , {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}
  • każda przestrzeń dyskretna.

Następujące przestrzenie nie są lokalnie zwarte:

  • przestrzeń liczb wymiernych Q {\displaystyle \mathbb {Q} } z topologią podprzestrzeni R , {\displaystyle \mathbb {R} ,}
  • przestrzeń Baire’a N N , {\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} },}
  • przestrzeń liczb niewymiernych R ∖ Q {\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} } z topologią podprzestrzeni R {\displaystyle \mathbb {R} } (będąca homeomorficzna z przestrzenią Baire’a),
  • przestrzeń { ( 0 , 0 ) } ∪ { ( x , y ) ∈ R 2 : y > 0 } {\displaystyle \{(0,0)\}\cup \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y>0\}} (z topologią podprzestrzeni płaszczyzny).

Własności

  • Jeśli X {\displaystyle X} jest przestrzenią T2, to
X {\displaystyle X} jest przestrzenią lokalnie zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt x ∈ X {\displaystyle x\in X} ma otoczenie zwarte.
  • Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest całkowicie regularna.
  • Całkowicie regularna przestrzeń X {\displaystyle X} jest lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona otwartą podprzestrzenią swego uzwarcenia Čecha-Stone’a β X . {\displaystyle \beta X.}
  • Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest zupełna w sensie Čecha.
  • Niezwarte, lokalnie zwarte przestrzenie Hausdorffa, to są dokładnie te przestrzenie których uzwarcenie jednopunktowe jest T2.
  • Zarówno otwarte, jak i domknięte podprzestrzenie lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa są lokalnie zwarte.
  • Jeśli ( X , τ ) {\displaystyle (X,\tau )} jest lokalnie zwartą przestrzenią T2, U ∈ τ {\displaystyle U\in \tau } oraz Z ⊆ U {\displaystyle Z\subseteq U} jest zwarty, to istnieje zbiór otwarty V ∈ τ {\displaystyle V\in \tau } taki, że Z ⊆ V ⊆ c l ( V ) ⊆ U {\displaystyle Z\subseteq V\subseteq \mathrm {cl} (V)\subseteq U} oraz c l ( V ) {\displaystyle \mathrm {cl} (V)} jest zwarte.
  • Na lokalnie zwartej grupie topologicznej można określić miarę (lewostronnie) niezmienniczą na działanie grupowe i mierzącą wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez zbiory zwarte; jest to tzw. miara Haara.

Zobacz też