Liczby dualne – wyrażenia postaci
gdzie
oraz
(
jest nilpotentem).
Konstrukcja
Liczby dualne można ściśle zdefiniować jako zbiór par liczb rzeczywistych tj.
z następującymi dwoma działaniami:
![{\displaystyle (a,b)\oplus (c,d)=(a+c,b+d),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa4585c0ae6145125c8d1f0586d48c9fc7f61af)
![{\displaystyle (a,b)\otimes (c,d)=(ac,ad+bc).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ada47b858dd9d1a16a6131ffaf0e4124762a945)
Para
jest elementem neutralnym mnożenia
oraz
Jest to więc pierścień przemienny z jedynką i z dzielnikami zera[a]. Dzielniki zera mają tutaj postać
bowiem
![{\displaystyle (0,b)\otimes (0,b)=(0,0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2546c2d65b0e7deacf05ce1a5b9088088c4c1c4)
Ponieważ
i
są niewspółmierne, więc analogicznie do liczb zespolonych otrzymać można następującą postać kanoniczną:
gdzie ![{\displaystyle \varepsilon =(0,1).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/986648f49e6c0f62b45e06451603b3c754994b7b)
Dla liczby dualnej niebędącej dzielnikiem zera tj.
istnieje odwrotność. Jej znajdowanie trochę przypomina proces znajdowania odwrotności liczb zespolonych – ułamek rozszerza się przez liczbę sprzężoną do mianownika:
![{\displaystyle (c+d\varepsilon )^{-1}={\frac {1}{c+d\varepsilon }}={\frac {c-d\varepsilon }{(c+d\varepsilon )(c-d\varepsilon )}}={\frac {c-d\varepsilon }{c^{2}+cd\varepsilon -cd\varepsilon -d^{2}\varepsilon ^{2}}}={\frac {c-d\varepsilon }{c^{2}+0}}={\frac {1}{c}}-{\frac {d}{c^{2}}}\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa1fe0746981553e62ea20dc60774645a2da5cdd)
Pierścień liczb dualnych można zanurzyć izomorficznie w pierścieniu macierzy stopnia 2:
![{\displaystyle a+b\varepsilon \leftrightarrow {\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8da713afe2f9c33c754b7fec0d5fc5c13294fb4a)
w szczególności
![{\displaystyle \varepsilon \leftrightarrow {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/904a22f48ffaf77da152398f928b687ac825fb10)
Różniczkowanie
Mając dany wielomian o współczynnikach rzeczywistych
można rozszerzyć jego dziedzinę do liczb dualnych. Łatwo dowieść, że
gdzie
jest pochodną
Ta zależność pozwala określić elementarne funkcje przestępne na liczbach dualnych:
![{\displaystyle f(a+b\varepsilon )=f(a)+bf'(a)\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e39fab555fb075a078a61ebc03e2ac4ec368540c)
Zobacz też
Uwagi
- ↑ Z tego względu określenie „liczby dualne” jest nieco mylące – w algebrze najczęściej liczbami określa się jakieś podzbiory (podciała) ciała liczb zespolonych.
Linki zewnętrzne
Double and dual numbers (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].
Główne rodzaje liczb
liczby tworzące zbiory | |
---|
liczby tworzące klasy właściwe | |
---|
powiązane pojęcia | |
---|