Aproksymacja diofantyczna

Aproksymacja diofantyczna – dziedzina teorii liczb badająca możliwości przybliżania liczb rzeczywistych liczbami wymiernymi i stopień dokładności takiego przybliżenia. Nazwa pochodzi od imienia Diofantosa z Aleksandrii.

Zgrubnym miernikiem dokładności przybliżenia jest wartość bezwzględna różnicy między daną liczbą rzeczywistą a jej przybliżeniem, subtelniejsze rozważania uwzględniają również wielkość mianownika odpowiedniego ułamka.

Można przyjąć, że pierwsze systematyczne badania w tej dziedzinie mają początek w pracach Liouvilla dotyczących istnienia liczb przestępnych (tzw. liczb Liouville’a). Wcześniej wiedziano sporo na temat przybliżania liczb niewymiernych ułamkami łańcuchowymi, znane było też twierdzenie Dirichleta o aproksymacji, jednak dopiero od Liouville’a zagadnieniom tym poświęcono systematyczną uwagę.

Wyniki Liouville’a, które były efektywne, poprawił Axel Thue i jego następcy, ale stracili oni efektywność: udowodnione w roku 1955 twierdzenie Thuego-Siegela-Rotha mówi, że jeśli liczba ${\displaystyle \alpha }$ jest algebraiczna, to dla dowolnego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ nierówność:

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<q^{-(2+\epsilon )}}$

ma tylko skończenie wiele rozwiązań w liczbach ${\displaystyle p}$ i ${\displaystyle q}$ względnie pierwszych i wykładnika po prawej stronie nie da się już zmniejszyć.

Twierdzenie Thuego-Siegela-Rotha zostało uogólnione na przypadek jednoczesnej aproksymacji skończonego zbioru liczb, przez Wolfanga M. Schmidta, wciąż nieefektywnie, co czyni ten wynik, i jego nieefektywnych poprzedników, mało przydatnymi do obliczeń.

Druga grupa zagadnień badanych w teorii aproksymacji to problematyka równomiernego rozkładu. Podstawowym wynikiem w tym kierunku jest kryterium Weyla, które z kolei pokazuje związek aproksymacji diofantycznej z analityczną teorią liczb. Inne problemy, jakie mogą się tu pojawiać, wiążą się z nieregularnościami rozkładu.

Jak w innych działach teorii liczb, również tu istnieje wiele nierozwiązanych, a prosto sformułowanych problemów. Jednym z nich jest hipoteza Littlewooda (dane z roku 2004), która głosi, że dla dowolnych liczb niewymiernych ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta ;}$

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\ n\cdot \|n\alpha \|\cdot \|n\beta \|=0,}$

gdzie ${\displaystyle \|x\|}$ jest odległością od liczby ${\displaystyle x}$ do najbliższej liczby całkowitej:

${\displaystyle \|x\|:=\min {\big (}\{x\},1-\{x\}{\big )}.}$

Zobacz też

• część ułamkowa