Gemiddelde kromming

In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de meetkunde, is de gemiddelde kromming ${\displaystyle H}$ van een oppervlak ${\displaystyle S}$ een extrinsieke maat, die de kromming van een ingebed oppervlak in een omliggende ruimte, zoals een Euclidische ruimte, beschrijft.

Definitie

Laat ${\displaystyle p}$ een punt op het oppervlak ${\displaystyle S}$ zijn. Beschouw alle krommen ${\displaystyle C_{i}}$ op ${\displaystyle S}$, die het punt ${\displaystyle p}$ op het oppervlak snijden. Iedere ${\displaystyle C_{i}}$ heeft een bijbehorende kromming ${\displaystyle K_{i}}$ gegeven op ${\displaystyle p}$. Van deze krommingen ${\displaystyle K_{i}}$, is er ten minste een, ${\displaystyle \kappa _{1}}$, als maximaal en een, ${\displaystyle \kappa _{2}}$ als minimaal gekarakteriseerd en deze twee krommingen ${\displaystyle \kappa _{1},\kappa _{2}}$ staan als de hoofdkrommingen van ${\displaystyle S}$ bekend.

De gemiddelde kromming op ${\displaystyle p\in S}$ is het gemiddelde van deze twee krommingen^[1], vandaar de naam:

${\displaystyle H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2}).}$

Meer in het algemeen wordt de gemiddelde kromming voor een hyperoppervlak, ${\displaystyle T}$, gegeven^[2] door

${\displaystyle H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}.}$

Minimaaloppervlakken

Zie minimaaloppervlak voor het hoofdartikel over dit onderwerp.

Een minimaaloppervlak is een oppervlak met op alle punten een gemiddelde kromming van nul. Klassieke voorbeelden van minimaaloppervlakken zijn de catenoïde, de helicoïde en het Enneper-oppervlak. Recente ontdekkingen zijn onder meer het minimaaloppervlak van Costa en de gyroïde.

Een uitbreiding van het idee van een minimaaloppervlak zijn oppervlakken met een constante gemiddelde kromming.

Zie ook

• Gaussiaanse kromming

Voetnoten