In de wiskunde is een bovengrens of majorant van een deelverzameling
van een partieel geordende verzameling
een element
waarvoor geldt dat
voor alle
. Als er een bovengrens is van
, heet
een naar boven begrensde deelverzameling van
.
Op analoge wijze is een ondergrens of minorant van
gedefinieerd als een element
waarvoor geldt dat
voor alle
. Als er een ondergrens is van
, heet
een naar onder begrensde deelverzameling van
.
In de analyse geldt eveneens dat een bovengrens van een functie
een getal
is, waarvoor geldt dat
voor alle
. Ook hier geldt het analoge voor de ondergrens:
voor alle
.
Een functie met een bovengrens heet ook naar boven begrensd. Een functie met een ondergrens heet naar onder begrensd. Een begrensde functie heeft zowel een ondergrens als een bovengrens.
Verwante begrippen
Maximum en minimum
Indien er voor een deelverzameling
van een partieel geordende verzameling
een element
bestaat zodanig dat
voor alle
, dan heet
het maximum van
. Het maximum
dient dus een bovengrens van
te zijn en tevens tot
te behoren. Men noteert:
.
Analoog is
een minimum van
, indien voor alle
geldt dat
. Hier is
dus een ondergrens die tot de verzameling behoort. Men noteert:
.
Supremum en infimum
De kleinste bovengrens van
, als deze bestaat, wordt het supremum
van
genoemd. In feite is het supremum van
het minimum van de majoranten van
:
![{\displaystyle \sup(S)=\min\{x\in V\mid s\leq x,{\text{ voor alle }}s\in S\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba1f1ae48eac65a1974a72ba6be9d0588e72a07)
Analoog wordt de grootste ondergrens van
, als deze bestaat, het infimum
van
genoemd. Het infimum van
is het maximum van de minoranten van
:
![{\displaystyle \inf(S)=\max\{x\in V\mid x\leq s,{\text{ voor alle }}s\in S\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6afbd7402b1c26202c6c597334c9935e0d59dc5e)
Eigenschappen
Laat
een deelverzameling zijn van een partieel geordende verzameling
.
- Als
bestaat, is dit maximum gelijk aan
. - Als
bestaat, is dit minimum gelijk aan
. - Als
niet naar boven begrensd is, zegt men wel dat
. - Als
niet naar onder begrensd is, zegt men wel dat
.
Voorbeelden
- Neem de deelverzameling
van
; dan is bijvoorbeeld 12 een bovengrens van
, aangezien voor ieder getal
geldt dat
. Overigens is 9 het supremum en tevens het maximum. - Beschouw de volgende deelverzamelingen
van de reële getallen
.
| | | | |
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d) | 1 | 1 | 0 | 0 |
![{\displaystyle (0,1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c79c6838e423c1ed3c7ea532a56dc9f9dae8290b) | - | 1 | - | 0 |
![{\displaystyle \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc) | - | ![{\displaystyle +\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bddbb0e4420a7e744cf71bd71216e11b0bf88831) | - | |
![{\displaystyle \{{\tfrac {1}{n}}|n\in \mathbb {N} ^{+}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf9a9fe73aaaa50c496ba3248ebec0783af4e3de) | 1 | 1 | - | 0 |
- Neem de functie
. Elke
is een bovengrens van
. De functie heeft geen minimum, maar wel is
.
Zie ook
- Relatieve chronologie (boven- en ondergrens van een onbekend tijdstip)