Lingkaran keemasan

Dalam geometri, lingkaran keemasan ialah suatu lingkaran logaritma di mana faktor pembesarannya ialah φ, nisbah keemasan.^[1] Yakni, lingkaran keemasan menjadi semakin besar atau jauh dari titik mulanya oleh suatu faktor φ untuk setiap belokan suku yang dibuatnya. Sebuah lingkaran sebegini mempunyai persamaan berkutub berikut:

${\displaystyle r=\varphi ^{\theta {\frac {2}{\pi }}}\,}$

Persamaan berkutub untuk sebuah lingkaran keemasan ialah sama sepertimana lingkaran logaritma yang lain, tetapi dengan nilai khas faktor pembesaran b:^[2]

${\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}$

atau

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}$

dengan e sebagai asas logaritma semulajadi, a sebagai radius mula lingkaran, dan b apabila θ bersudut tegak (pusingan suku pada mana-mana arah):

${\displaystyle e^{b\theta _{\mathrm {s.tegak} }}\,=\varphi }$

Maka, b diberikan melalui persamaan berikut:

${\displaystyle b={\ln {\varphi } \over \theta _{\mathrm {s.tegak} }}.}$

Nilai nombor b bergantung sama ada sudut tegak diukur dalam unit darjah (yakni, 90°) atau dalam unit ${\displaystyle \textstyle {\frac {\pi }{2}}}$ radian; memandangkan sudut sasaran boleh diukur menggunakan mana-mana unit ini, rumusan untuk nilai mutlak ${\displaystyle b}$ lebih mudah ditulis (di mana b juga boleh bernilai negatif):

${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over 90}\doteq 0.0053468\,}$ untuk θ dalam unit darjah;

${\displaystyle |b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}\doteq 0.3063489\,}$ untuk θ dalam unit radians Templat:OEIS2C.

Suatu formula alternatif untuk kedua-dua lingkaran juga diberikan:^[3]

${\displaystyle r=ac^{\theta }\,}$

di mana pemalar c diberikan daripada:

${\displaystyle c=e^{b}\,}$

di mana lingkaran keemasan memberi nilai c sebagai:

${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611}$

jika θ diukur dalam unit darjah, dan

${\displaystyle c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456.}$ OEIS A212225.

jika θ diukur dalam unit radians.

Lihat juga

• Nisbah keemasan
• Nombor Fibonacci

Rujukan