ポリガンマ関数

曖昧さ回避 この項目では、ガンマ関数の対数微分で定義されるポリガンマ関数（polygamma function）について説明しています。E. Barnesによって導入された多重ガンマ関数（multiple gamma function）については「多重ガンマ関数」をご覧ください。
実数x に対するψ(n)(x)の挙動。 オレンジがディガンマ関数、黄色がトリガンマ関数、緑がテトラガンマ関数、赤がペンタガンマ関数、青がヘキサガンマ関数に対応する。
複素平面上でのディガンマ関数ψ(z)
複素平面上でのトリガンマ関数ψ(1)(z)
複素平面上でのテトラガンマ関数ψ(2)(z)
複素平面上でのペンタガンマ関数ψ(3)(z)

数学において、ポリガンマ関数（ぽりがんまかんすう、英: polygamma function）とは、ガンマ関数の対数微分による導関数として定義される特殊関数。ディガンマ関数やトリガンマ関数はポリガンマ関数の一種である。

定義

ガンマ関数 Γ(z) に対し、その対数微分

ψ ( n ) ( z ) = d n + 1 d z n + 1 ln ⁡ Γ ( z ) = d n d z n ψ ( z ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n+1}}{dz^{n+1}}}\ln {\Gamma (z)}={\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\psi (z)}

で、定義される関数をポリガンマ関数と呼ぶ。

ψ(z), ψ(1)(z), ψ(2)(z), ψ(3)(z), ψ(4)(z) は、それぞれディ-、トリ-、テトラ-、ペンタ-、ヘキサ-ガンマ関数と呼ばれる。

ポリガンマ関数 ψ(n)(z ) は z = 0, −1, −2, ... で n + 1 位の極をもち，それらの点を除く全複素平面では解析的になる。

漸化式

ポリガンマ関数は次の漸化式を満たす。

ψ ( n ) ( z + 1 ) = ψ ( n ) ( z ) + ( − 1 ) n n ! z n + 1 {\displaystyle \psi ^{(n)}(z+1)=\psi ^{(n)}(z)+{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}}

級数表示

ポリガンマ関数はz ≠0, -1, -2, -3...で次の級数表示を持つ。

  • ψ ( z ) = − γ − ∑ n = 0 ∞ ( 1 z + n − 1 n + 1 ) {\displaystyle \psi (z)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl (}{\frac {1}{z+n}}-{\frac {1}{n+1}}{\biggr )}}
  • ψ ( n ) ( z ) = ( − 1 ) n + 1 n ! ∑ k = 0 ∞ 1 ( z + k ) n + 1 ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}n!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{n+1}}}\qquad (n=1,2,3,\cdots )}

また、z =0でのテイラー展開により、|z |<1の領域で次のように表される。

  • ψ ( z + 1 ) = − γ + ∑ k = 2 ∞ ( − 1 ) k ζ ( k ) z k − 1 {\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\zeta (k)z^{k-1}}
  • ψ ( n ) ( z + 1 ) = ( − 1 ) n + 1 ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k − 1 ( n + k − 1 ) ! ζ ( n + k ) z k − 1 ( k − 1 ) ! ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(z+1)=(-1)^{n+1}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}(n+k-1)!\zeta (n+k)z^{k-1}}{(k-1)!}}\qquad (n=1,2,3,\cdots )}

但し、γ =0.5772...はオイラーの定数、ζ(n )はリーマンゼータ関数を表す。

積分表示

Rez >0のとき、ポリガンマ関数は次の積分表示を持つ。

  • ψ ( z ) = − γ + ∫ 0 ∞ e − t − e − z t 1 − e − t d t {\displaystyle \psi (z)=-\gamma +\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt}
  • ψ ( n ) ( z ) = ( − 1 ) n + 1 ∫ 0 ∞ t n e − z t 1 − e − t d t ( n = 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(z)=(-1)^{n+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{n}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}dt\quad (n=1,2,\cdots )}

相反公式

ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。

( − 1 ) n ψ ( n ) ( 1 − z ) − ψ ( n ) ( z ) = π d n d z n cot ⁡ π z {\displaystyle (-1)^{n}\psi ^{(n)}(1-z)-\psi ^{(n)}(z)=\pi {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\operatorname {cot} \pi z}

但し、cot πz は余接関数を表す。

漸近展開

z →∞　(|argz | < π)のとき、ポリガンマ関数は次の漸近展開をもつ。

  • ψ ( z ) ∼ ln ⁡ z − 1 2 z − ∑ n = 1 ∞ B 2 n 2 n z 2 n {\displaystyle \psi (z)\sim \ln {z}-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}}
  • ψ ( n ) ( z ) ∼ ( − 1 ) ( n − 1 ) ( ( n − 1 ) ! z n + n ! 2 z n + 1 + ∑ k = 1 ∞ B 2 k ( 2 k + n − 1 ) ! ( 2 k ) ! z 2 k + n ) ( n = 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(z)\sim (-1)^{(n-1)}\left({\frac {(n-1)!}{z^{n}}}+{\frac {n!}{2z^{n+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}(2k+n-1)!}{(2k)!z^{2k+n}}}\right)\quad (n=1,2,\cdots )}

但し、B2kはベルヌーイ数である。

特殊値

ポリガンマ関数は、m=1において、次の値をとる。

  • ψ ( 1 ) = − γ {\displaystyle \psi (1)=-\gamma }
  • ψ ( n ) ( 1 ) = ( − 1 ) n + 1 n ! ζ ( n + 1 ) ( n = 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(1)=(-1)^{n+1}n!\zeta (n+1)\quad (n=1,2,\cdots )}

ポリガンマ関数は、m≧2の正の整数において、次の値をとる。

  • ψ ( m ) = − γ + ∑ k = 1 m − 1 1 k = − γ + H m − 1 ( m = 2 , 3 , 4 , ⋯ ) {\displaystyle \psi (m)=-\gamma +\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {1}{k}}=-\gamma +H_{m-1}\qquad (m=2,3,4,\cdots )}
  • ψ ( n ) ( m ) = ( − 1 ) n n ! { − ζ ( n + 1 ) + ∑ k = 1 m − 1 1 k n + 1 } ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯ , m = 2 , 3 , 4 , ⋯ ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(m)=(-1)^{n}n!\left\{-\zeta (n+1)+\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {1}{k^{n+1}}}\right\}\qquad (n=1,2,3,\cdots ,m=2,3,4,\cdots )}

但し、γ はオイラーの定数、Hm-1は調和数を表す。

参考文献

  • Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover (1965) ISBN 978-0486612720
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press (1927; reprinted 1996) ISBN 978-0521588072
  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, Academic Press; ジョージ．ブラウン・アルフケン、ハンス．J・ウェーバー (著)、 権平健一郎、神原武志、小山直人 (翻訳) 『基礎物理数学第4版Vol．3　特殊関数』 講談社 (2001) ISBN 978-4061539792

関連項目