最初の5つの第一種チェビシェフ多項式 T n x ), (−1≤x ≤+1, n =0,...,4) 第一種チェビシェフ多項式 （英 : Chebyshev polynomials of the first kind ）は、以下の式で定義される[1]
T n ( x ) = cos ( n t ) , {\displaystyle T_{n}(x)=\cos(nt),} x = cos t これは三角多項式 （trigonometric polynomial ）、直交多項式 の一例である[1]
これはcos(kt )をコサイン の加法定理を用いてcos(t )の多項式 で表したものと見ることができる。
cos 1 t = cos t , cos 2 t = 2 cos 2 t − 1 , cos 3 t = 4 cos 3 t − 3 cos t , … {\displaystyle {\begin{aligned}\cos 1t&=\cos t,\\\cos 2t&=2\cos ^{2}t-1,\\\cos 3t&=4\cos ^{3}t-3\cos t,\dots \end{aligned}}} 従って、以下の式を得る。
T 0 ( x ) = 1 , T 1 ( x ) = x , T 2 ( x ) = 2 x 2 − 1 , T 3 ( x ) = 4 x 3 − 3 x , … {\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1,\\T_{1}(x)&=x,\\T_{2}(x)&=2x^{2}-1,\\T_{3}(x)&=4x^{3}-3x,\dots \end{aligned}}} これらの多項式は次の三項漸化式 に従うことがわかる。
T n + 1 ( x ) = 2 x T n ( x ) − T n − 1 ( x ) {\displaystyle T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)} n = 1, 2, …）最初の5つの第二種チェビシェフ多項式 U n x ), (−1≤x ≤+1, n =0,...,4) 第二種チェビシェフ多項式（英 : Chebyshev polynomials of the second kind ）は U n − 1 ( cos t ) = sin n t / sin t {\displaystyle U_{n-1}(\cos t)=\sin nt/\sin t} n U n − 1 ( t ) = T n ′ ( t ) {\displaystyle nU_{n-1}(t)=T'_{n}(t)}
従って、最初の数個を列挙すれば以下のようになる。
U 0 ( x ) = 1 , U 1 ( x ) = 2 x , U 2 ( x ) = 4 x 2 − 1 , U 3 ( x ) = 8 x 3 − 4 x , … {\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1,\\U_{1}(x)&=2x,\\U_{2}(x)&=4x^{2}-1,\\U_{3}(x)&=8x^{3}-4x,\dots \end{aligned}}} T と同じ三項漸化式が U にも成りたち、
U n + 1 ( x ) = 2 x U n ( x ) − U n − 1 ( x ) {\displaystyle U_{n+1}(x)\;=\;2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x)} n = 1, 2, …）となる。
この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath 』の項目Chebyshev polynomialの本文を含む
性質 ∑ n = 0 ∞ T n ( x ) t n = 1 − t x 1 − 2 t x + t 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}} ∑ n = 0 ∞ U n ( x ) t n = 1 1 − 2 t x + t 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}} ( 1 − x 2 ) y ″ − x y ′ + n 2 y = 0 for y = T n ( x ) {\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0\quad {\text{ for }}y=T_{n}(x)} ( 1 − x 2 ) y ″ − 3 x y ′ + n ( n + 2 ) y = 0 for y = U n ( x ) {\displaystyle (1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0\quad {\text{ for }}y=U_{n}(x)} 多項式 チェビシェフ多項式はゲーゲンバウアー多項式 の特別な場合である[2]
T n ( x ) = n 2 lim ν → 0 Γ ( ν ) C n ( ν ) ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)={\frac {n}{2}}\lim _{\nu \to 0}\Gamma (\nu )C_{n}^{(\nu )}(x)}
特に、 T n {\displaystyle T_{n}} n {\displaystyle n} n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n-1}} [3]
T n ( − x ) = ( − 1 ) n T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(-x)=(-1)^{n}T_{n}(x)}
を持つ[4]
零点と極値 第1種チェビシェフ多項式 T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)} ( − 1 , + 1 ) {\displaystyle (-1,+1)} n {\displaystyle n}
x k = cos 2 k + 1 2 n π ( k = 0 , 1 , … , n − 1 ) {\displaystyle x_{k}=\cos {\frac {2k+1}{2n}}\pi \quad (k=0,1,\dots ,n-1)}
である[3] チェビシェフノード（英語版） と呼ぶ。
T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)} n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} [ − 1 , + 1 ] {\displaystyle [-1,+1]} n + 1 {\displaystyle n+1}
x k ′ = cos k π n ( k = 0 , 1 , … , n ) {\displaystyle x'_{k}=\cos {\frac {k\pi }{n}}\quad (k=0,1,\dots ,n)}
である[3] T n ( x k ′ ) = ( − 1 ) k {\displaystyle T_{n}(x'_{k})=(-1)^{k}} [3] [ − 1 , + 1 ] {\displaystyle [-1,+1]} 一様ノルム は 1 {\displaystyle 1}
直交性 第1種チェビシェフ多項式は区間 [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} w ( x ) = 1 / 1 − x 2 {\displaystyle w(x)=1/{\sqrt {1-x^{2}}}} 直交多項式 である。すなわち、直交関係
∫ − 1 + 1 T n ( x ) T m ( x ) d x 1 − x 2 = N n δ n m {\displaystyle \int _{-1}^{+1}T_{n}(x)T_{m}(x){\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=N_{n}\delta _{nm}}
を満足する[5] N 0 = π {\displaystyle N_{0}=\pi } N n = π / 2 {\displaystyle N_{n}=\pi /2} n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} [ − 1 , 1 ] {\displaystyle [-1,1]} w ( x ) = 1 − x 2 {\displaystyle w(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}
∫ − 1 + 1 U n ( x ) U m ( x ) 1 − x 2 d x = π 2 δ n m {\displaystyle \int _{-1}^{+1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}dx={\frac {\pi }{2}}\delta _{nm}}
を満足する[6]
また、第1種チェビシェフ多項式について離散的な直交関係が知られている。 x k {\displaystyle x_{k}} T n ( x ) {\displaystyle T_{n}(x)} n ≥ 1 {\displaystyle n\geq 1} n {\displaystyle n} i , j < n {\displaystyle i,j<n}
∑ k = 0 n − 1 T i ( x k ) T j ( x k ) = K i δ i j {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}T_{i}(x_{k})T_{j}(x_{k})=K_{i}\delta _{ij}}
が成立する[7] K 0 = n {\displaystyle K_{0}=n} K i = n / 2 {\displaystyle K_{i}=n/2} i ≥ 1 {\displaystyle i\geq 1} [8]
漸化式 微分を含む漸化式[9]
( 1 − x 2 ) T n ′ ( x ) = n [ x T n ( x ) − T n + 1 ( x ) ] {\displaystyle (1-x^{2})T'_{n}(x)=n\left[xT_{n}(x)-T_{n+1}(x)\right]}
乗法関係[9]
2 T n ( x ) T m ( x ) = T n + m ( x ) + T | n − m | ( x ) {\displaystyle 2T_{n}(x)T_{m}(x)=T_{n+m}(x)+T_{|n-m|}(x)}
応用 チェビシェフ補間 詳細は「チェビシェフ補間（英語版、ロシア語版） 」を参照
共役勾配法の誤差限界 数値線形代数 における共役勾配法 の誤差限界はチェビシェフ多項式を用いて表されることが示されている[10]
ガウス-チェビシェフ公式 ガウス-チェビシェフ公式はチェビシェフ多項式の零点 を用いる数値積分 公式であり、ガウス求積 の一種である[11]
クレンショ―＝カーティス求積 詳細は「クレンショ―＝カーティス求積（英語版） 」を参照
チェビシェフ多項式を用いる数値積分 法の一種である[12] [13] [14]
出典 ^ a b c d 時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版 、2006年。 ^ 岩波数学公式III, p. 86. ^ a b c d Gil, Segura & Temme, p. 57. ^ 岩波数学公式III, p. 88. ^ 岩波数学公式III, p. 90. ^ “Classical Orthogonal Polynomials”. 2021年1月21日 閲覧。 ^ Gil, Segura & Temme, p. 59. ^ Gil, Segura & Temme, p. 64. ^ a b Gil, Segura & Temme, p. 58. ^ Axelsson, O., & Barker, V. A. (1984). Finite element solution of boundary value problems: theory and computation. SIAM. ^ Weisstein, Eric W. "Chebyshev-Gauss Quadrature." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Chebyshev-GaussQuadrature.html ^ C. W. Clenshaw and A. R. Curtis "A method for numerical integration on an automatic computer en:Numerische Mathematik 2, 197 (1960). ^ Trefethen, Lloyd N. (2008). "Is Gauss quadrature better than Clenshaw-Curtis?". SIAM Review. 50 (1): 67–87. CiteSeerX 10.1.1.157.4174. doi:10.1137/060659831. ^ J. P. Imhof, "On the Method for Numerical Integration of Clenshaw and Curtis", en:Numerische Mathematik 5, p. 138-141 (1963). 参考文献 森口繁一、宇田川銈久、一松信『岩波数学公式III 特殊函数』岩波書店、1987年。ISBN 4-00-005509-7。 Gil, Amparo; Segura, Javier; Temme (2007). Numerical Methods for Special Functions . Society for Industrial and Applied Mathematics. doi:10.1137/1.9780898717822. ISBN 978-0-89871-634-4 Mason, John; Handscomb, David (2003). Chabyshev Polynomials . Chapman & Hall/CRC. ISBN 0-8493-0355-9 関連項目 外部リンク 『チェビシェフ多項式』 - 高校数学の美しい物語 チェビシェフ多項式の計算法 チェビシェフの多項式とn倍角の公式 チェビシェフの多項式 チェビシェフの多項式の実装 Weisstein, Eric W. "Chebyshev Polynomial of the First Kind". mathworld.wolfram.com (英語). Weisstein, Eric W. "Chebyshev Polynomial of the Second Kind". mathworld.wolfram.com (英語). J. C. Mason: "Chebyshev polynomials of the second, third and fourth kinds in approximation, indefinite integration, and integral transforms", Journal of Compuational and Applied Mathematics vol.49 (1993) pp.169-178.
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![{\displaystyle [-1,+1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/daa72f1a806823ec94fda7922597b19cbda684f4)
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