Teorema di scomposizione

Il teorema di scomposizione, anche detto teorema di Pellegrini^[1], è un teorema delle reti lineari che permette di trasformare una generica rete N in un'altra N' che ne renda più semplice l'analisi e che evidenzi le sue proprietà principali.

Enunciato

Siano e, h, u, w, q=q', e t=t' sei nodi arbitrari della rete N e sia ${\displaystyle S}$ un generatore indipendente di tensione o corrente posizionato tra e e h, mentre ${\displaystyle U}$ è la grandezza di uscita, sia essa una tensione o una corrente, relativa al ramo di immittenza^[2] ${\displaystyle X_{u}}$ connesso tra u e w. Venga adesso tagliata la connessione qq' e venga inserito un circuito a tre terminali ("TTC"^[3]) tra i due nodi q e q' e il nodo t=t' come nella figura b (${\displaystyle W_{r}}$ e ${\displaystyle W_{p}}$ sono quantità omogenee, tensioni o correnti, relative alle porte qt e q't=q't' del TTC).

Affinché le due reti N e N' siano equivalenti per ogni ${\displaystyle S}$, devono valere i due vincoli ${\displaystyle W_{r}=W_{p}}$ e ${\displaystyle {\bar {W_{r}}}={\bar {W_{p}}}}$, dove la barra sopra la lettera indica la quantità duale.

Il circuito a tre terminali sopracitato si può implementare, ad esempio, connettendo un generatore ideale indipendente di tensione o corrente ${\displaystyle W_{p}}$ tra q' e t' , e un'immittenza ${\displaystyle X_{p}}$ tra q e t.

Funzioni di rete

Con riferimento alla rete N', si definiscono le seguenti funzioni di rete:

${\displaystyle A\equiv {\frac {U}{W_{p}}}|_{S=0}\!\,}$  ; ${\displaystyle \beta \equiv {\frac {W_{r}}{U}}|_{S=0}\!\,}$  ; ${\displaystyle X_{i}\equiv {\frac {W_{p}}{\bar {W_{p}}}}|_{S=0}\!\,}$

${\displaystyle \gamma \equiv {\frac {U}{S}}|_{W_{p}=0}\!\,}$ ; ${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {W_{r}}{S}}|_{W_{p}=0}\!\,}$ ; ${\displaystyle \rho \equiv {\frac {\bar {W_{p}}}{S}}|_{W_{p}=0}\!\,}$

dalle quali, per il principio di sovrapposizione degli effetti, si ha:

${\displaystyle W_{r}=\alpha S+\beta AW_{p}}$

${\displaystyle {\bar {W_{p}}}=\rho S+{\frac {W_{p}}{X_{i}}}}$.

Pertanto, il primo vincolo per l'equivalenza delle reti è soddisfatto se ${\displaystyle W_{p}={\frac {\alpha }{1-\beta A}}S}$.

Inoltre,

${\displaystyle {\bar {W_{r}}}={\frac {W_{r}}{X_{p}}}}$

${\displaystyle {\bar {W_{p}}}=\left({\frac {1}{X_{i}}}+{\frac {\rho }{\alpha }}(1-\beta A)\right)W_{r}}$

quindi il secondo vincolo per l'equivalenza delle reti vale se ${\displaystyle {\frac {1}{X_{p}}}={\frac {1}{X_{i}}}+{\frac {\rho }{\alpha }}(1-\beta A)}$^[4]

Funzione di trasferimento

Considerando l'espressione delle funzioni di rete ${\displaystyle \gamma }$ e ${\displaystyle A}$, il primo vincolo per l'equivalenza delle reti, e che, per il principio di sovrapposizione degli effetti, ${\displaystyle U=\gamma S+AW_{p}}$, la funzione di trasferimento ${\displaystyle A_{f}\equiv {\frac {U}{S}}}$ è data da

${\displaystyle A_{f}={\frac {\alpha A}{1-\beta A}}+\gamma }$.

Nel caso in cui il circuito in esame sia un amplificatore reazionato, le funzioni di rete ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \gamma }$ e ${\displaystyle \rho }$ tengono conto delle non idealità di tale amplificatore. In particolare:

• ${\displaystyle \alpha }$ tiene conto della non idealità della rete di confronto in ingresso
• ${\displaystyle \gamma }$ tiene conto della non unidirezionalità della catena di reazione
• ${\displaystyle \rho }$ tiene conto della non unidirezionalità della catena di amplificazione.

Se possiamo considerare ideale tale amplificatore, ovvero se ${\displaystyle \alpha =1}$, ${\displaystyle \rho =0}$ e ${\displaystyle \gamma =0}$, la funzione di trasferimento si riduce alla nota espressione derivante dalla teoria classica della reazione:

${\displaystyle A_{f}={\frac {A}{1-\beta A}}}$.

Calcolo dell'impedenza e dell'ammettenza tra due nodi

Tramite il teorema di scomposizione il calcolo dell'impedenza (o dell'ammettenza) tra due nodi risulta abbastanza semplificato.

Impedenza

Inseriamo un generico generatore ${\displaystyle S}$ tra i nodi j=e=q e k=h tra i quali vogliamo calcolare l'impedenza ${\displaystyle Z}$. Effettuando un taglio come in figura, notiamo che l'immittenza ${\displaystyle X_{p}}$ risulta in serie con ${\displaystyle S}$ ed è percorsa dalla stessa corrente erogata da ${\displaystyle S}$. Se scegliamo una sorgente di tensione in ingresso ${\displaystyle V_{s}=S}$ e, come conseguenza, una corrente ${\displaystyle I_{s}={\bar {S}}}$, e un'impedenza ${\displaystyle Z_{p}=X_{p}}$, possiamo fare le seguenti considerazioni:

${\displaystyle Z={\frac {V_{s}}{I_{s}}}={\frac {V_{s}}{I_{r}}}=Z_{p}{\frac {V_{s}}{V_{r}}}=Z_{p}{\frac {V_{s}}{V_{p}}}=Z_{p}{\frac {1-\beta A}{\alpha }}}$.

Considerando che ${\displaystyle \alpha ={\frac {V_{r}}{V_{s}}}|_{V_{p}=0}={\frac {Z_{p}}{Z_{p}+Z_{b}}}}$, dove ${\displaystyle Z_{b}}$ è l'impedenza vista tra i nodi k=h e t togliendo ${\displaystyle Z_{p}}$ e cortocircuitando i generatori di tensione presenti, si ottiene l'impedenza ${\displaystyle Z}$ tra i nodi j e k nella forma:

${\displaystyle Z=\left(Z_{p}+Z_{b}\right)\left(1-\beta A\right)}$

Ammettenza

Si procede in maniera analoga alla precedente, solo che stavolta si effettua un taglio come nella figura a lato, notando che ${\displaystyle S}$ risulta ora in parallelo a ${\displaystyle X_{p}}$. Considerando un generatore di corrente in ingresso ${\displaystyle I_{s}=S}$ (conseguentemente si ha una tensione ${\displaystyle V_{s}={\bar {S}}}$) e un'ammettenza ${\displaystyle Y_{p}=X_{p}}$, l'ammettenza ${\displaystyle Y}$ tra i nodi j e k si calcola come segue:

${\displaystyle Y={\frac {I_{s}}{V_{s}}}={\frac {I_{s}}{V_{r}}}=Y_{p}{\frac {I_{s}}{I_{r}}}=Y_{p}{\frac {I_{s}}{I_{p}}}=Y_{p}{\frac {1-\beta A}{\alpha }}}$.

Considerando che ${\displaystyle \alpha ={\frac {I_{r}}{I_{s}}}|_{I_{p}=0}={\frac {Y_{p}}{Y_{p}+Y_{b}}}}$, dove ${\displaystyle Y_{b}}$ è l'ammettenza vista tra i nodi k=h e t togliendo ${\displaystyle Y_{p}}$ e aprendo i generatori di corrente presenti, si ottiene l'ammettenza ${\displaystyle Y}$ nella forma:

${\displaystyle Y=\left(Y_{p}+Y_{b}\right)\left(1-\beta A\right)}$

Osservazioni

La realizzazione del TTC mediante una generatore indipendente ${\displaystyle W_{p}}$ e una immittenza ${\displaystyle X_{p}}$ è utile e intuitiva per il calcolo della immittenza ${\displaystyle X}$ tra due nodi ma presenta, come per le altre funzioni di rete, la difficoltà del calcolo di ${\displaystyle X_{p}}$ dalla equazione di equivalenza che si può evitare con l'uso di un generatore dipendente ${\displaystyle {\bar {W_{p}}}}$ in luogo di ${\displaystyle X_{p}}$ e impiegando, per quanto riguarda ${\displaystyle X}$, la formula di Blackman^[5]. Tale realizzazione del TTC, come esempio eclatante di reazione, consente anche di considerare in reazione una rete costituita da un generatore di tensione e due impedenze in serie.

Note

Bibliografia

• B. Pellegrini, Considerations on the Feedback Theory, Alta Frequenza 41, 825 (1972).
• B. Pellegrini, Improved Feedback Theory, IEEE Transactions on Circuits and Systems 56, 1949 (2009).

Voci correlate

• Retroazione
• Controllo automatico

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