In matematica un numero primo
è detto di Primo di Wolstenholme se e solo se
![{\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee8e2641cb051316a5f01be977dbce93d37d27d)
Ovvero
![{\displaystyle {\binom {2p}{p}}\equiv 2{\pmod {p^{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9be288e69f457d212d0066d6620a8a3ec5c90a96)
Gli unici due numeri primi di Wolstenholme attualmente conosciuti sono 16843 e 2124679 (sequenza A088164 dell'OEIS). È stato verificato che non ne esistano altri minori di
[1]
Dimostrazione
Il Coefficiente binomiale è definito come:
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{(n-k)!(k!)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/742c59ca74062c66b3731765e912025858e86f94)
Si può quindi espandere il binomio, riscrivendo l'identità come:
![{\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}={\frac {(2p-1)!}{[(2p-1)-(p-1)]!(p-1)!}}\equiv 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae29dc2134754314a3660a374762b23eb40d052f)
Semplificando si ottiene:
![{\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\,={\frac {2p}{2p}}\cdot {\frac {(2p-1)!}{p!(p-1)!}}\,={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {(2p)!}{(p!)^{2}}}\,={\frac {1}{2}}{\binom {2p}{p}}\,\equiv 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e44cd8a8442d90085a9179185121694ebf7c0ad0)
Raggruppando, la seguente identità è dimostrata:
![{\displaystyle {\binom {2p}{p}}\,\equiv 2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c556e1e504a8ca26186773098f68ed34b40630d8)
Note
- ^ McIntosh, email a Paul Zimmermann. 9 Mar 2004
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Numero primo di Wolstenholme, su MathWorld, Wolfram Research.
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