Formule di Briggs

Le Formule di Briggs sono delle formule geometriche, ricavate da Henry Briggs, in grado di fornire i valori delle principali funzioni trigonometriche avendo a disposizione soltanto le misure dei 3 lati del triangolo.

Le formule in realtà forniscono i valori per il semi-angolo interno. Per ricavare le formule per sapere i valori trigonometrici relativi all'angolo interno basta applicare a queste le formule di duplicazione.

a,b,c = lati del triangolo p = semiperimetro

Seno Coseno Tangente
sin ⁡ α 2 = ( p − b ) ( p − c ) b c {\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}}} cos ⁡ α 2 = p ( p − a ) b c {\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {p(p-a)}{bc}}}} tan ⁡ α 2 = ( p − b ) ( p − c ) p ( p − a ) {\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{p(p-a)}}}}
sin ⁡ β 2 = ( p − a ) ( p − c ) a c {\displaystyle \sin {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-c)}{ac}}}} cos ⁡ β 2 = p ( p − b ) a c {\displaystyle \cos {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {p(p-b)}{ac}}}} tan ⁡ β 2 = ( p − a ) ( p − c ) p ( p − b ) {\displaystyle \tan {\frac {\beta }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-c)}{p(p-b)}}}}
sin ⁡ γ 2 = ( p − a ) ( p − b ) a b {\displaystyle \sin {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{ab}}}} cos ⁡ γ 2 = p ( p − c ) a b {\displaystyle \cos {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {p(p-c)}{ab}}}} tan ⁡ γ 2 = ( p − a ) ( p − b ) p ( p − c ) {\displaystyle \tan {\frac {\gamma }{2}}={\sqrt {\frac {(p-a)(p-b)}{p(p-c)}}}}

Duplicazione delle formule di Briggs

Utilizzando la formula di duplicazione per il seno si ha:

sin ⁡ α = 2 sin ⁡ α 2 ⋅ cos ⁡ α 2 = 2 ( p − b ) ( p − c ) b c ⋅ p ( p − a ) b c = 2 b c p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) {\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\alpha }&=2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cos {\frac {\alpha }{2}}\\&=2{\sqrt {{\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}\cdot {\frac {p(p-a)}{bc}}}}\\&={\frac {2}{bc}}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\end{aligned}}}

Come sappiamo dalla formula di Erone, la quantità

p ( p − a ) ( p − b ) ( p − c ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}\end{aligned}}}

non è altro che l'area del triangolo di lati a {\displaystyle a} , b {\displaystyle b} e c {\displaystyle c} . La relazione precedente può essere allora interpretata anche come dimostrazione della formula di Erone, dal momento che si ha ovviamente:

A = b c sin ⁡ α 2 {\displaystyle A={\frac {bc\sin {\alpha }}{2}}}

Utilizzando la formula di duplicazione per il coseno si ha:

cos ⁡ α = cos 2 ⁡ α 2 − sin 2 ⁡ α 2 = p ( p − a ) b c 2 − ( p − b ) ( p − c ) b c 2 = p ( p − a ) b c − ( p − b ) ( p − c ) b c {\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\alpha }&=\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\\&={\sqrt {\frac {p(p-a)}{bc}}}^{2}-{\sqrt {\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}}^{2}\\&={\frac {p(p-a)}{bc}}-{\frac {(p-b)(p-c)}{bc}}\\\end{aligned}}}

Collegamenti esterni