Equazione del trasporto

In matematica, l'equazione del trasporto è un'equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine, utilizzata in particolare per descrivere i fenomeni di trasporto, come la trasmissione del calore o lo scambio di materia.

L'equazione del trasporto è un'equazione differenziale alle derivate parziali lineare, che, nel caso di coefficienti costanti, assume la forma:^[1]

${\displaystyle {\frac {\partial {u}}{\partial t}}+\mathbf {b} \cdot \nabla u=f}$

dove ${\displaystyle \nabla }$ è il gradiente e

${\displaystyle u(\mathbf {x} ,t):\mathbb {R} ^{n}\times [0,+\infty )\rightarrow \mathbb {R} }$

è la funzione incognita nelle variabili posizione ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$ e tempo ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, mentre ${\displaystyle \mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$ ed ${\displaystyle f}$ è il termine sorgente, che condivide con ${\displaystyle u}$ dominio e codominio.

L'equazione del trasporto omogenea ha la forma:

${\displaystyle {\frac {\partial {u}}{\partial t}}+\mathbf {b} \cdot \nabla u=0}$

L'equazione esprime il fatto che esiste una derivata direzionale di ${\displaystyle u}$ nulla, ovvero in tutto lo spazio-tempo la funzione incognita è sempre costante in una certa direzione.^[2]

Si consideri il generico punto ${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times [0,+\infty )}$ e si definisca la funzione:

${\displaystyle z(s)=u(\mathbf {x} +s\mathbf {b} ,t+s)}$

con ${\displaystyle s}$ reale.

Il differenziale di tale funzione è:

${\displaystyle dz=\sum _{i}^{n}{\frac {\partial z}{\partial x_{i}}}dx_{i}(s)+{\frac {\partial z}{\partial t}}dt(s)=\nabla z\cdot d\mathbf {x} (s)+{\frac {\partial z}{\partial t}}dt(s)}$

Essendo:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {x} (s)}{ds}}=\mathbf {b} \qquad {\frac {dt(s)}{ds}}=1}$

la derivata totale rispetto a ${\displaystyle s}$ è:

${\displaystyle {\frac {dz}{ds}}={\frac {\partial z}{\partial t}}+\mathbf {b} \cdot \nabla z=0}$

L'annullarsi è dovuto alla linearità dell'equazione omogenea, e quindi ${\displaystyle z}$ è una funzione costante nella variabile ${\displaystyle s}$. Questo significa che ${\displaystyle u}$ è una funzione costante in ogni punto ${\displaystyle (x,t)}$ nella direzione ${\displaystyle (\mathbf {b} ,1)}$: tale direzione è una retta se ${\displaystyle \mathbf {b} }$ è costante, ed è parametrizzata da ${\displaystyle (\mathbf {x} +s\mathbf {b} ,t+s)}$. Conoscendo il valore di ${\displaystyle u}$ lungo tale direzione, in particolare, si conosce il valore di ${\displaystyle u}$ in tutto il dominio.^[2]

Si ponga come condizione al contorno che nel punto ${\displaystyle t=0}$ si abbia ${\displaystyle u=g}$, con ${\displaystyle g}$ nota. La direzione di ${\displaystyle u}$ interseca il piano ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times [t=0]}$ quando ${\displaystyle s=-t}$, e quindi:

${\displaystyle u(\mathbf {x} -t\mathbf {b} ,0)=g(\mathbf {x} -t\mathbf {b} )}$

da cui segue che:

${\displaystyle u(\mathbf {x} ,t)=g(\mathbf {x} -t\mathbf {b} )}$

Se ${\displaystyle g}$ è una funzione differenziabile, la soluzione è in senso classico.

Il termine sorgente è detto anche forzante, mentre la condizione iniziale impone che nel punto ${\displaystyle t=0}$ si abbia ${\displaystyle u=g}$. Questi assunti costituiscono i dati del problema, che per essere ben posto richiede che la soluzione sia unica e dipendente con continuità da tali dati.^[3]

Si ponga, come nel caso della soluzione per l'equazione omogenea:

${\displaystyle z(s)=u(\mathbf {x} +s\mathbf {b} ,t+s)}$

Si ha:

${\displaystyle {\frac {dz}{ds}}={\frac {\partial z}{\partial t}}+\mathbf {b} \cdot \nabla z=f(\mathbf {x} +s\mathbf {b} ,t+s)}$

Dal momento che:

${\displaystyle u(\mathbf {x} ,t)=z[s=0]\qquad g(\mathbf {x} -\mathbf {b} t)=z[s=-t]}$

si ottiene:^[1]

${\displaystyle \int _{-t}^{0}{\frac {dz(s)}{ds}}ds=z[s=0]-z[s=-t]=u(\mathbf {x} ,t)-g(\mathbf {x} -\mathbf {b} t)=\int _{-t}^{0}f(\mathbf {x} +s\mathbf {b} ,t+s)ds=\int _{0}^{t}f(\mathbf {x} +(s-t)\mathbf {b} ,s)ds}$

e quindi, considerando il terzo ed il quinto termine:

${\displaystyle u(\mathbf {x} ,t)=g(\mathbf {x} -\mathbf {b} t)+\int _{0}^{t}f(\mathbf {x} +(s-t)\mathbf {b} ,s)ds}$

La procedura utilizzata, che permette di convertire l'equazione alle derivate parziali in un'equazione differenziale ordinaria, è un caso particolare del metodo delle caratteristiche.

• (EN) Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2.

• Equazione di Boltzmann
• Equazione differenziale alle derivate parziali
• Fenomeni di trasporto
• Metodo delle caratteristiche

• (EN) Joan Remski - The Transport Equation: An Application of Directional Derivatives, su www-personal.umd.umich.edu.
• (EN) Paul DuChateau - The Transport Equation (PDF), su math.colostate.edu.