Disuguaglianza di riarrangiamento
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La disuguaglianza di riarrangiamento consiste nell'osservazione che il prodotto scalare fra due vettori è massimo (risp. minimo) quando le componenti dei vettori sono ordinate nello stesso modo (risp. in modo opposto).
Se le componenti dei vettori a e b sono
allora
è il valore massimo che può assumere il prodotto scalare fra i due vettori (quando le componenti sono ordinate nello stesso modo) e
è il valore minimo che lo stesso può assumere.
Dimostrazione
Procediamo per assurdo: supponiamo che il valore massimo che può assumere il prodotto scalare non si possa ottenere con le componenti dei vettori a e b, ordinate nello stesso modo:
Poniamo: e : (considerando le corrispondenze: e )
molti elementi della prima serie si annullano con tutti gli elementi della seconda:
Questa disuguaglianza è sempre vera in base alle condizioni iniziali e
Questo dimostra che non è possibile maggiorare con un semplice scambio il prodotto quando le componenti a e b non sono ordinate allo stesso modo.
La dimostrazione andrebbe conclusa mostrando che per ogni catena di scambi maggiore di 2 non è possibile la maggiorazione.
Uso
Questa disuguaglianza può essere usata per dimostrarne alcune più complesse come la disuguaglianza della media aritmetica e geometrica, la Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e la Disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma.
Voci correlate
- Disuguaglianza di Hardy-Littlewood
- Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz
- Disuguaglianza di Čebyšëv sulla somma
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