Distribuzione Gamma inversa

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In teoria delle probabilità la distribuzione casuale gamma inversa è una distribuzione di probabilità, dipendente da due parametri α e β.

La variabile aleatoria ha come supporto i reali positivi e parametri strettamente maggiori di zero.

${\displaystyle X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} ^{+}}$

La sua funzione di densità di probabilità è 

${\displaystyle f(x)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{\frac {e^{-{\frac {\beta }{x}}}}{x^{\alpha +1}}}}$

La funzione di distribuzione cumulativa di probabilità è

${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}{f(t)dt}={\frac {\Gamma (\alpha ,\beta /x)}{\Gamma (\alpha )}}}$

dove ${\displaystyle \Gamma (\alpha ,\beta /x)}$ è la funzione gamma incompleta e ${\displaystyle \Gamma (\alpha )}$ la funzione gamma di Eulero.

Calcoliamo i momenti semplici della nostra distribuzione

${\displaystyle \mu _{k}=\int _{0}^{\infty }x^{k}f(x)dx={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {\beta }{x}}}}{x^{\alpha +1-k}}}dx}$

Ora applichiamo la sostituzione ${\displaystyle z={\frac {\beta }{x}}\Leftrightarrow dz=-{\frac {\beta }{x^{2}}}dx=-{\frac {z^{2}}{\beta }}dx}$ troviamo quindi quanto segue

${\displaystyle \mu _{k}={\frac {\beta ^{\alpha +1}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{\alpha -1-k}}{\beta ^{\alpha +1-k}}}e^{-z}dz={\frac {\beta ^{k}}{\Gamma (\alpha )}}\int _{0}^{\infty }z^{\alpha -k-1}e^{-z}dz}$

Quest'ultimo integrale converge per ${\displaystyle \alpha -k\in \mathbb {R} ^{+}\Rightarrow \alpha >k}$

nel caso possiamo applicare la definizione integrale della funzione ${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt}$

${\displaystyle \mu _{k}=\beta ^{k}\cdot {\frac {\Gamma (\alpha -k)}{\Gamma (\alpha )}}=\beta ^{k}\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{\alpha -i}}}$

Da qui possiamo ricavarci il valore atteso della nostra variabile aleatoria

${\displaystyle \mathbb {E} [X]={\frac {\beta }{\alpha -1}}}$ per ogni α > 1

e la sua varianza, che ricordiamo essere

${\displaystyle Var(X):=\mathbb {E} [(X-\mathbb {E} [X])^{2}]=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} ^{2}[X]}$

Che nel nostro caso esisterà per il parametro α > 2

${\displaystyle Var(X)={\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)(\alpha -2)}}-{\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}}}={\frac {\beta ^{2}(\alpha -1)-\beta ^{2}(\alpha -2)}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}={\frac {\beta ^{2}}{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}}$

Procediamo ora ad un semplice calcolo per ottenere la moda della nostra distribuzione

${\displaystyle \left({\frac {df}{dx}}\right)_{x=x^{*}}=0\Rightarrow \left[\beta {x^{*}}^{-1}-(\alpha +1)\right]{\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}{x^{*}}^{-(\alpha +2)}e^{-{\frac {\beta }{x^{*}}}}=0}$

il secondo fattore di questo prodotto non si annulla mai e può essere semplificato, ottenendo così un'unica soluzione. Pertanto se la derivata si annulla in un solo punto e la funzione vale 0 agli estremi dell'intervallo ${\displaystyle [0,\infty )}$ in cui è definita positiva, allora il nostro punto è effettivamente un punto di massimo.

${\displaystyle {x^{*}}={\frac {\beta }{\alpha +1}}}$

Per cui l'intera distribuzione è maggiorata da

${\displaystyle f(x^{*})={\frac {(\alpha +1)^{\alpha +1}}{\beta \Gamma (\alpha )}}e^{-(\alpha +1)}}$

• ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(\alpha ,\beta )}$ allora ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-chi-square}}(\nu )}$ se ${\displaystyle \alpha ={\frac {\nu }{2}}}$ e ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{2}}}$; ${\displaystyle X}$ è la variabile casuale chi quadro inversa
• ${\displaystyle X\sim {\mbox{Gamma}}(k,\theta )}$ allora ${\displaystyle Y\sim {\mbox{Inv-Gamma}}(k,\theta )}$ se ${\displaystyle Y={\frac {1}{X}}}$; ${\displaystyle X}$ è la variabile casuale Gamma

${\displaystyle X:\Omega \rightarrow A\subseteq \mathbb {R} }$

${\displaystyle Y:\Omega '\rightarrow B\subseteq \mathbb {R} }$

X è nel nostro caso una variabile aleatoria di tipo Gamma, per cui la sua funzione di densità di probabilità si può scrivere come segue

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {\beta ^{\alpha }x^{\alpha -1}e^{-\beta x}}{\Gamma (\alpha )}}}$ e l'insieme di supporto A coincide con i reali positivi.

Definiamo quindi la trasformazione a cui associare la nuova variabile aleatoria Y.

${\displaystyle g:A\rightarrow B}$

${\displaystyle Y=g(X)={\frac {1}{X}}}$ per cui anche B effettivamente coincide con i reali positivi.

Pertanto procediamo con il calcolare ${\displaystyle f_{Y}(y)}$ dato dalla seguente relazione

${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}\left(g^{-1}(y)\right)\left|{\frac {d}{dy}}g^{-1}(y)\right|}$

${\displaystyle f_{Y}(y)={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\cdot y^{-\alpha +1}e^{-{\frac {\beta }{y}}}{\frac {1}{y^{2}}}={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\cdot y^{-\alpha -1}e^{-{\frac {\beta }{y}}}}$

Che risulta essere proprio la nostra variabile aleatoria discussa finora.

• Variabile casuale Gamma
• Variabile casuale normale

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