Carattere di Dirichlet

In matematica, un carattere di Dirichlet modulo q è una funzione aritmetica completamente moltiplicativa che estende a tutti i naturali un carattere del gruppo delle unità di Z/qZ. Più precisamente, dato un intero positivo q, una funzione aritmetica χ(n) si dice essere un carattere modulo q se esiste un omomorfismo f dal gruppo degli invertibili di Z/qZ negli invertibili di C tale che

${\displaystyle \chi \left(n\right)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{se}}\ \left(n,q\right)>1,\\f\left(n\right)&{\mbox{altrimenti.}}\end{matrix}}\right.}$

Se come funzione f si prende la funzione costantemente uguale a 1, allora il carattere χ₁ associato ad f è detto carattere principale modulo q.

Se un carattere di Dirichlet modulo q si può scrivere come prodotto di un carattere modulo un intero k strettamente minore di q (che dovrà necessariamente essere un divisore di q) e il carattere principale modulo q, allora esso verrà detto non primitivo. I caratteri che non sono non primitivi, sono detti primitivi.

Dato che per ogni intero positivo q vi sono esattamente φ(q) caratteri di Z/qZ, si ha che lo stesso vale per i caratteri di Dirichlet modulo q. Inoltre, dalla definizione discende subito che essi sono completamente moltiplicativi, periodici di periodo q e che hanno immagine nell'insieme comprendente 0 e le radici φ(q)-esime dell'unità.

Dato un carattere di Dirichlet ${\displaystyle \chi }$, si può definire il suo carattere coniugato ${\displaystyle {\overline {\chi }}}$, definendolo semplicemente come

${\displaystyle {\overline {\chi }}(n)={\overline {\chi (n)}}.}$

Chiaramente, se ${\displaystyle \chi }$ è un carattere di Dirichlet modulo q, anche ${\displaystyle {\overline {\chi }}}$ lo è.

Un'altra importante proprietà dei caratteri di Dirichlet è la seguente: se χ è un carattere modulo q, allora per ogni coppia di interi m ed n con n e q coprimi si ha

${\displaystyle \sum _{\chi {\text{ mod }}q}\chi (m){\overline {\chi }}(n)={\begin{cases}\varphi (q)&{\text{se }}m\equiv n{\text{ mod }}q,\\0&{\text{altrimenti,}}\end{cases}}}$

ove la somma è su tutti i caratteri modulo q.

• (EN) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, New York, Springer-Verlag, 1976, ISBN 0-387-90163-9. capitolo 6.8
• (EN) Harold Davenport, Multiplicative number theory, 3ª ed., Springer, 2000, ISBN 0-387-95097-4.

• Teoria dei caratteri
• Funzione L di Dirichlet

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