Ekspresi aljabar

Dalam matematika, ekspresi aljabar (bahasa Inggris: algebraic expression) adalah ekspresi yang memuat konstanta bilangan bulat, variabel, dan operasi aljabar^{[C 1]}^[1] Sebagai contoh, 3x² − 2xy + c adalah ekspresi aljabar. Karena akar kuadrat merupakan pangkat 12, maka ${\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}$ juga merupakan ekspresi aljabar. Persamaan yang melibatkan ekspresi aljabar disebut persamaan aljabar.

Akan tetapi, berbeda dengan bilangan transendental seperti π dan e, yang bukan merupakan ekspresi aljabar. Sebab kedua bilangan tersebut bukan diturunkan dari konstanta bilangan bulat dan operasi aljabar, melainkan π dibangun sebagai hubungan geometris, dan sedangkan definisi e memerlukan bilangan tak hingga dari operasi aljabar.

Adapun ekspresi rasional (bahasa Inggris: rational expression) adalah ekspresi yang dapat ditulis ulang menjadi pecahan rasional. Ekspresi ini ditulis dengan menggunakan sifat dari operasi aritmatika, seperti sifat komutatif dan sifat asosiatif untuk penjumlahan dan perkalian, sifat distributif dan aturan-aturan untuk operasi pada pecahan. Dengan kata lain, ekspresi rasional adalah ekspresi yang dapat dibangun dari variabel dan konstanta dengan hanya menggunakan empat operasi aritmetika. Jadi, ekspresi seperti ${\frac {3x^{2}-2xy+c}{y^{3}-1}}$ termasuk ekspresi rasional. Ekspresi yang ditulis selain dari sifat-sifat tersebut bukan merupakan ekspresi rasional, seperti ${\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}$ Persamaan rasional (bahasa Inggris: rational equation) adalah persamaan yang melibatkan dua ekspresi rasional pada pembilang maupun dan penyebut, yang ditulis sebagai

{\frac {P(x)}{Q(x)}}

Ekspresi ini mematuhi aturan yang sama seperti pecahan. Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan perkalian silang. Akan tetapi, pembagian dengan nol ditolak sebab solusi pada pembagian formal tersebut menyebabkan hasilnya menjadi tak terdefinisi.

Istilah

Aljabar memiliki istilah tersendiri, yang bertujuan untuk menjelaskan bagian-bagian pada ekspresi aljabar.:

1 – eksponen atau pangkat, 2 – koefisien, 3 – suku, 4 – operator, 5 – konstanta, $x,y$ - variabel

Dalam akar polinomial

Akar dari ekspresi polinomial berderajat n, atau dengan kata lain, solusi dari persamaan polinomial, selalu dapat ditulis sebagai ekspresi aljabar jika n < 5 (lihat rumus kuadrat, fungsi kubik, dan persamaan kuartik). Solusi dari persamaan tersebut merupakan solusi aljabar. Sayangnya, teorema Abel–Ruffini mengatakan bahwa tiada solusi aljabar untuk semua persamaan tersebut (hanya untuk beberapa persamaan) jika n ≥ 5.

Konvensi

Variabel

Berdasarkan konvensi, huruf di awal alfabet seperti $a,b,c$ umum digunakan dalam menyatakan konstanta, sedangkan huruf di akhir alfabet seperti $x,y$ dan $z$ digunakan untuk menyatakan variabel.^[2] Secara umum, penulisan pada semua huruf tersebut dimiringkan.^[3]

Eksponen

Berdasarkan konvensi, suku dengan pangkat (atau eksponen) tertinggi ditulis di sebelah kiri. Sebagai contoh, $x^{2}$ ditulis di sebelah kiri $x$ . Koefisien yang bernilai satu umumnya tidak ditulis (atau dihilangkan), sebagai contoh, $1x^{2}$ ditulis $x^{2}$ .^[4] Hal ini juga sama ketika eksponen bernilai satu, sebagia contoh $3x^{1}$ ditulis $3x$ ,^[5] dan jika eksponennya nol, hasilnya selalu 1 (sebagai contoh, $3x^{0}$ ditulis $3$ karena $x^{0}$ selalu bernilai $1$ ).^[6]

Aljabar dan ekspresi matematika lainnya

Tabel berikut merupakan ringkasan terkait bagaimana ekspresi aljabar dibandingkan dengan beberapa jenis ekspresi matematika lainnya berdasarkan jenis elemen yang diperoleh. Hal ini berdasarkan konvensi umum, bukan berdasarkan konvensi universal.

l b s	Ekspresi aritmetika	Ekspresi polinomial	Ekspresi aljabar	Ekspresi tertutup	Ekspresi analitik	Ekspresi matematika
Konstanta	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya
Operasi aritmetika dasar	Ya	Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian saja	Ya	Ya	Ya	Ya
Jumlah terbatas	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya
Darab terhingga	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya
Pecahan lanjutan hingga	Ya	Tidak	Ya	Ya	Ya	Ya
Variabel	Tidak	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya
Eksponen bilangan bulat	Tidak	Ya	Ya	Ya	Ya	Ya
Akar ke-n bilangan bulat	Tidak	Tidak	Ya	Ya	Ya	Ya
Eksponen rasional	Tidak	Tidak	Ya	Ya	Ya	Ya
faktorial bilangan bulat	Tidak	Tidak	Ya	Ya	Ya	Ya
Eksponen irasional	Tidak	Tidak	Tidak	Ya	Ya	Ya
Logaritma	Tidak	Tidak	Tidak	Ya	Ya	Ya
Fungsi trigonometri	Tidak	Tidak	Tidak	Ya	Ya	Ya
Fungsi trigonometri invers	Tidak	Tidak	Tidak	Ya	Ya	Ya
Fungsi hiperbolik	Tidak	Tidak	Tidak	Ya	Ya	Ya
Fungsi hiperbolik invers	Tidak	Tidak	Tidak	Ya	Ya	Ya
Akar non-aljabar dari polinomial	Tidak	Tidak	Tidak	Tidak	Ya	Ya
Fungsi gamma dan faktorial dari bukan bilangan bulat	Tidak	Tidak	Tidak	Tidak	Ya	Ya
Fungsi Bessel	Tidak	Tidak	Tidak	Tidak	Ya	Ya
Fungsi khusus	Tidak	Tidak	Tidak	Tidak	Ya	Ya
Jumlah tak terhingga (deret) (khususnya deret pangkat)	Tidak	Tidak	Tidak	Tidak	Hanya konvergen	Ya
Darab tak terhingga	Tidak	Tidak	Tidak	Tidak	Hanya konvergen	Ya
Pecahan lanjutan tak terhingga	Tidak	Tidak	Tidak	Tidak	Hanya konvergen	Ya
Limit	Tidak	Tidak	Tidak	Tidak	Tidak	Ya
Turunan	Tidak	Tidak	Tidak	Tidak	Tidak	Ya
Integral	Tidak	Tidak	Tidak	Tidak	Tidak	Ya

Ekspresi aljabar rasional (atau ekspresi rasional) adalah ekspresi aljabar yang dapat ditulis sebagai hasil bagi dari polinomial, seperti x² + 4x + 4. Sedangkan ekspresi aljabar irasional adalah ekspresi yang tidak rasional, seperti √x + 4.

Lihat pula

Persamaan aljabar
Fungsi aljabar
Ekspresi analitis
Ekspresi aritmetika
Ekspresi bentuk tertutup
Ekspresi (matematika)
Precalculus
Polinomial
Istilah (logika)

Catatan

^ Operasi tersebut di antaranya: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan eksponen (yang merupakan bilangan rasional.)

Referensi

^ Morris, Christopher G. (1992). Academic Press dictionary of science and technology. Gulf Professional Publishing. hlm. 74. algebraic expression over a field.
^ William L. Hosch (editor), The Britannica Guide to Algebra and Trigonometry, Britannica Educational Publishing, The Rosen Publishing Group, 2010, ISBN 1615302190, 9781615302192, page 71
^ James E. Gentle, Numerical Linear Algebra for Applications in Statistics, Publisher: Springer, 1998, ISBN 0387985425, 9780387985428, 221 pages, [James E. Gentle page 183]
^ David Alan Herzog, Teach Yourself Visually Algebra, Publisher John Wiley & Sons, 2008, ISBN 0470185597, 9780470185599, 304 pages, page 72
^ John C. Peterson, Technical Mathematics With Calculus, Publisher Cengage Learning, 2003, ISBN 0766861899, 9780766861893, 1613 pages, page 31
^ Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, Algebra for College Students, Publisher Cengage Learning, 2010, ISBN 0538733543, 9780538733540, 803 pages, page 222