Sincfüggvény

A sincfüggvény, sinus cardialis, kardinális szinusz vagy szi-függvény egy valós analitikus függvény. A kardinális szinusz elnevezés Philip M. Woodwardtól származik 1953-ból.^[1][2][3] A szakirodalomban az elnevezések nem egységesek, különösen angol nyelvű könyvekben sinc néven hivatkoznak mind a normált, mind a nem normált sincfüggvényre. A német szakirodalom megkülönbözteti a kettőt, a nem normált:^[4]

${\displaystyle \operatorname {si} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$

és a normált:

${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$

Mindkét esetben a 0 helyen a függvény értékét 1-nek definiáljuk (megszüntethető szingularitás megszüntetése).

Különféle alkalmazásokban, mint az információelméletben, a digitális jelfeldolgozásban, inkább a normált sincfüggvényt használják.

Tulajdonságai

A sincfüggvénynek megszüntethető szingularitása van a 0 helyen, ahol határértéke ${\displaystyle \operatorname {si} (0)=1}$ illetve ${\displaystyle \operatorname {sinc} (0)=1}$. Ez belátható a L’Hôpital-szabály alkalmazásával. Ezt figyelembe véve néha a definícióba is befoglalják a szingularitás megszüntetését.

Programcsomagok, mint a Matlab a normalizált sincfüggvényt tartalmazzák, ami kifejezhető szorzatként és a gamma-függvénnyel is:

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}}$

A ${\displaystyle \operatorname {si} }$-függvény Taylor-sora levezethető a szinuszfüggvény Taylor-sorából:

${\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n+1)!}}=1-{\frac {x^{2}}{6}}+{\frac {x^{4}}{120}}\mp \cdots }$

A ${\displaystyle j_{0}}$ elsőfajú szferikus függvény azonosan megegyezik a ${\displaystyle \operatorname {si} }$-függvénnyel:

${\displaystyle j_{0}(x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$

A sincfüggvények nullhelyei:

${\displaystyle \operatorname {si} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}=0}$ minden ${\displaystyle \ x\in \{n\pi \ |\ n\in \{\pm 1,\pm 2,\dots \}\}}$ esetén

${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=0}$ minden ${\displaystyle \ x\in \{\pm 1,\pm 2,\dots \}}$ esetén

A ${\displaystyle \operatorname {si} }$ függvény pozitív szélsőértékhelyei ${\displaystyle x_{n},n\geq 1}$ jó közelítéssel:

${\displaystyle x_{n}\approx (n+{\tfrac {1}{2}})\pi -{\frac {1}{(n+{\frac {1}{2}})\pi }}}$

ahol páratlan ${\displaystyle n}$ esetén helyi minimum, páros ${\displaystyle n}$ esetén helyi maximum van. Az első szélsőértékhelyre a közelítés hibája jóval kisebb, mint 1/100. Mindkét függvény páros (két páratlan függvény hányadosa), a negatív szélsőértékhelyek a pozitívok tükörképei. A függvényeknek abszolút maximumuk van az x = 0 helyen.

si(x) = sin(x)/x maximum- és minimumhelyei

Maximumhely	Minimumhely
0
	≈ 4,4934095 ≈ 1½π − 0,219284
≈ 7,7252518 ≈ 2½π − 0,12873
	≈ 10,904122 ≈ 3½π − 0,091452
≈ 14,066194 ≈ 4½π − 0,070973
	≈ 17,220755 ≈ 5½π − 0,057989
≈ 20,371303 ≈ 6½π − 0,049049
	≈ 23,519452 ≈ 7½π − 0,042493
≈ 26,666054 ≈ 8½π − 0,042998
	≈ 29,811599 ≈ 9½π − 0,033531
≈ 32,956389 ≈ 10½π − 0,030334
	≈ 36,100622 ≈ 11½π − 0,0276935
≈ 39,244432 ≈ 12½π − 0,025476
	⋯
⋯
	≈ (2n−½)·π − ((2n−½)·π)−1
≈ (2n+½)·π − ((2n+½)·π)−1

Az ${\displaystyle \mathrm {si} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}$ függvény ${\displaystyle n}$-edik deriváltja

minden ${\displaystyle x\neq 0}$ esetén analitikusan meghatározható:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{n}\operatorname {si} (x)}{\mathrm {d} \,x^{n}}}=\sum _{m=0}^{n}{\frac {n!}{m!}}(-1)^{n-m}{\frac {\mathrm {d} ^{m}\,\sin \,x}{\mathrm {d} \,x^{m}}}{\frac {1}{x^{n-m+1}}}={\frac {1}{x}}\left({\frac {\mathrm {d} ^{n}\,\sin \,x}{\mathrm {d} \,x^{n}}}-n{\frac {\mathrm {d} ^{n-1}\operatorname {si} (x)}{\mathrm {d} \,x^{n-1}}}\right)}$

Innen az első két derivált:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \,\operatorname {si} (x)}{\mathrm {d} \,x}}={\frac {\cos \,x}{x}}-{\frac {\sin \,x}{x^{2}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}\,\operatorname {si} (x)}{\mathrm {d} \,x^{2}}}=-{\frac {\sin \,x}{x}}-{\frac {2\,\cos \,x}{x^{2}}}+{\frac {2\,\sin \,x}{x^{3}}}}$

A teljes görbe alatti terület

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {si} (x)\ dx=\pi }$

illetve

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {sinc} (x)\ dx=1}$.

A sincfüggvény a négyszögfüggvény Fourier-transzformáltja:

${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t}{\tau }}\right)=\chi _{[-\tau /2,\tau /2]}(t):={\begin{cases}1&|t|\leq \tau /2\\0&{\text{ellenkező esetben}}\end{cases}}}$

mivel

${\displaystyle {\mathcal {F}}(\chi _{[-\tau /2,\tau /2]})(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\tau /2}^{\tau /2}e^{-\mathrm {i} \omega t}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\tau \,\operatorname {si} \left({\frac {\omega \tau }{2}}\right)}$  .

További hasznos tulajdonság, hogy a normalizált függvény zérushelyei egészek.

A normalizált függvény a négyszögfüggvény Fourier-transzformáltja arányosítás nélkül. Ez a függvény alapvető jelentőségű a folytonos sávhatárolt jelek visszaállításnál, egyenletes eloszlású mintavétel mellett.

A két definíció között csak az a különbség, hogy a független változó egy π-szeres szorzóban különbözik. A sincfüggvény mindenhol analitikus.

A Fourier-transzformáció tulajdonságaiból következik, hogy a sincfüggvény analitikus, így tetszőlegesen sokszor differenciálható. A Fourier-transzformáció miatt következik a Plancherel-identitás, emiatt ortogonális a ${\displaystyle \pi }$ egész számszorosaival vett eltoltaira, teljesül, hogy

${\displaystyle \langle \mathrm {si} (x-k\pi ),\,\mathrm {si} (x-l\pi )\rangle ={\frac {\pi }{2}}\int _{-1}^{1}e^{-\mathrm {i} (l-k)\pi t}\,\mathrm {d} t=\pi \mathrm {si} ((l-k)\pi )=\pi \delta _{l,k}}$  ,

ahol ${\displaystyle \delta _{l,k}}$ a Kronecker-delta.

Megfelelő normálással az eltoltak ortonormált bázist alkotnak az ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} )}$ térben. A sinc(x−kπ) által kifeszített altérre vett projekció

${\displaystyle P(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\langle f(t),\,\mathrm {si} (t-k\pi )\rangle \;\mathrm {si} (x-k\pi )}$  .

Az interpolációs tulajdonság miatt

${\displaystyle P(f)(n\pi )={\frac {1}{\pi }}\langle f(t),\,\mathrm {si} (t-n\pi )\rangle \;}$ 

tehát

${\displaystyle P(f)(x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }P(f)(k\pi )\;\mathrm {si} (x-k\pi )}$  .

Ebben az altérben a függvényeket egyértelműen meghatározzák az ${\displaystyle \{k\pi :k\in \mathbb {Z} \}}$ helyeken felvett értékeik.

A négyszögfüggvény tartója korlátos, tehát eltoltjainak lineáris kombinációi is sávkorlátozottak. Megfordítva, minden sávkorlátozott függvény előáll ilyen lineáris kombinációként, emiatt a nevezett helyeken felvett értékeik egyértelműen meghatározzák őket. Ez Nyquist-Shannon mintavételezési tétele.

Alkalmazások

Digitális jelfeldolgozás

A sincfüggvény fő alkalmazása a digitális jelfeldolgozás. Megjelenik a mintavételi (vagy kardinális, E. T. Whittaker 1915) sorozatban, amivel egy folytonos, sávkorlátos ${\displaystyle x}$ jel rekonstruálható a mintavételezett ${\displaystyle x(k\Delta t)}$ értékből, illetve egy tetszőleges támaszhelysorozat folytonos jelként folytatható:

${\displaystyle x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{x(k\Delta t)\cdot \mathrm {sinc} \left({\frac {1}{\Delta t}}(t-k\Delta t)\right)}}$

Ez a legkisebb oszcillációjú interpolációs képlet. Frekvenciaspektruma korlátozott, és legkisebb lehetséges körfrekvenciája ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{\Delta t}}}$, illetve frekvenciája ${\displaystyle {\tfrac {1}{2\Delta t}}}$. Ha a sávkorlátozottság nem teljesül az ${\displaystyle x}$ jelre, tehát a kimenő jelnek magas frekvenciájú összetevői is vannak, akkor ez a mintavételezés nem elég sűrű, és a nagyfrekvenciájú összetevők helyett alacsony frekvenciájú összetevők lesznek rekonstruálva. Ez az alias-hatás.

Elhajlás

Hullámok elhajlásakor a frekvenciák elhajlási mintát alkotnak, ami Fourier-transzformációkkal négyszögszerű nyílásfüggvényként magyarázható. Emiatt a sincfüggvényt résfüggvénynek is nevezik. Elhajláskor a szem által közvetített fényerősség a hullám aplitudójának négyzete; innen adódóan ${\displaystyle \operatorname {sinc} ^{2}}$.

Prímszámeloszlás és magfizika

A ${\displaystyle \textstyle \left({\tfrac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right)^{2}}$ függvénykifejezés a fizikában a nehéz atommagok sajátállapotainak energiájának pár-korrelációs eloszlását írja le. A matematikában a Riemann-féle zéta-függvény prímszámokhoz asszociált pár-korreláció eloszlását írja le. Mindkét elméletben közös a véletlen mátrixok elmélete, amit először Freeman Dyson fizikus fejtett ki Hugh Montgomery matematikussal folytatott beszélgetésében 1972-ben.

Hasonló függvények

A sincfüggvény szerkezetéhez hasonló a tanc függvény:

${\displaystyle \operatorname {tanc} (x):={\dfrac {\tan(x)}{x}}}$

amit azonban nem tekintenek kardinális függvénynek.

Története

A sincfüggvényt Phillip Woodward vezette be 1952-ben, egy publikációjában,^[5] melyben azzal indokolta a önálló sincfüggvény bevezetését, hogy az információ elméletben olyan sokszor fordul elő a Fourier-transzformáció, hogy megérdemli ez a függvény, hogy önállóan is szerepeljen a leírásokban.^[6][7][8] A ‘sinc’ kifejezés a függvény latin nevének az összevonása: sinus cardinalis.^[7]

Jegyzetek

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Sinc-Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Irodalom

• Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2009. 109–113. o. ISBN 978-963-279-026-8  

Kapcsolódó szócikkek

• Riemann-integrál
• Információelmélet
• Szögfüggvények
• Sinc-szűrő
• Lánczos-szűrő
• Dirichlet-integrál
• Borwein-integrál

További információk

• http://mathworld.wolfram.com/SincFunction.html
• http://calculus.subwiki.org/wiki/Sinc_function
• http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01sc-single-variable-calculus-fall-2010/1.-differentiation/part-a-definition-and-basic-rules/session-8-limits-of-sine-and-cosine/MIT18_01SCF10_ex08sol.pdf