Négynégyzetszám-tétel

A négynégyzetszám-tétel az additív számelmélet egyik tétele. Azt állítja, hogy minden természetes szám előáll négy négyzetszám összegeként: 7=4+1+1+1, 15=9+4+1+1, 32=16+16+0+0. Lagrange igazolta 1770-ben, Bachet sejtette 1621-ben, de a sejtést valószínűleg már sokkal korábban kimondták.

Az Euler-azonosság

Ez a következő:

( x 2 + y 2 + z 2 + u 2 ) ( X 2 + Y 2 + Z 2 + U 2 ) = ( x X + y Y + z Z + u U ) 2 + {\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2})(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+U^{2})=(xX+yY+zZ+uU)^{2}+}
( x Y − y X + z U − u Z ) 2 + ( x Z − z X + u Y − y U ) 2 + ( x U − u X + y Z − z Y ) 2 . {\displaystyle (xY-yX+zU-uZ)^{2}+(xZ-zX+uY-yU)^{2}+(xU-uX+yZ-zY)^{2}.}

Az állítás a szorzások elvégzésével könnyen látható.

A tétel igazolása

Elég prímekre igazolni

A fenti Euler-azonosság alapján, ha két számra tudjuk az állítást, akkor a szorzatukra is. Indukcióval ez akárhány szám szorzatára is igaz. Ha tudjuk az állítást prímszámokra, mivel minden szám prímek szorzatára bontható, készen vagyunk.

Minden prímnek van ilyen többszöröse

Legyen tehát p prím. Feltehetjük, hogy p legalább 3. Először belátjuk, hogy p-nek van négy négyzetszám összegeként írható olyan többszöröse, amiben a négyzetszámok nem mind oszthatók p-vel. Ennél erősebb tételt igazolunk: p-nek van x²+y²+1 alakú többszöröse. Valóban, ha vesszük a négyzetszámokat mod p, azaz a mod p kvadratikus maradékokat, akkor maradékosztályoknak egy (p+1)/2 elemű A halmazát kapjuk. A Cauchy–Davenport-lemma szerint A+A tartalmaz minden mod p vett maradékosztályt, így –1-et is, ami pontosan a bizonyítandó állítás.

A bizonyítás befejezése

A végtelen leszállás módszerével bebizonyítjuk, hogy ha n>1 pozitív egész, amire np négy négyzetszám összege, akkor van 1<m<n, amire ugyanez igaz.

Tegyük fel először, hogy n páros. Ekkor, az

n p = x 2 + y 2 + z 2 + u 2 {\displaystyle np=x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}

egyenlőségbeli x, y, z, u közül 0, 2 vagy 4 páros. Permutálva őket feltehetjük, hogy x és y, valamint z és u azonos paritású. Ekkor viszont a négy négyzetszám összegeként írható

( x + y 2 ) 2 + ( x − y 2 ) 2 + ( z + u 2 ) 2 + ( z − u 2 ) 2 {\displaystyle \left({\frac {x+y}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {x-y}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {z+u}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {z-u}{2}}\right)^{2}}

kiszorozva

x 2 + y 2 + z 2 + u 2 2 {\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}{2}}}

azaz p (n/2)-szerese, tehát kisebb többszöröse.

Tegyük fel végül, hogy n>1 páratlan és np=x²+y²+z²+u². Legyen x, y, z, u n-nel vett legkisebb abszolút értékű maradéka rendre X, Y,Z,U. Jegyezzük meg, hogy X, Y, Z, U mindegyikének abszolút értéke kisebb n/2-nél (itt használjuk fel, hogy n páratlan). Így

X 2 + Y 2 + Z 2 + U 2 < ( n 2 ) 2 + ( n 2 ) 2 + ( n 2 ) 2 + ( n 2 ) 2 {\displaystyle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+U^{2}<\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}}

ami n²-tel egyenlő. Továbbá X²+Y²+Z²+U² ugyanazt a maradékot adja n-nel osztva mint x²+y²+z²+u², azaz 0-t. Tehát ez az összeg k n-nel egyenlő valamilyen k<n-re.

Az Euler-azonosság szerint

( x 2 + y 2 + z 2 + u 2 ) ( X 2 + Y 2 + Z 2 + U 2 ) = A 2 + B 2 + C 2 + D 2 , {\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2})(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+U^{2})=A^{2}+B^{2}+C^{2}+D^{2},}

ahol A, B, C, D az azonosság jobb oldalán szereplő kifejezések.

A bal oldal a fentiek szerint kn²p. Másrészt viszont

A ≡ x 2 + y 2 + z 2 + u 2 ≡ 0 ( mod n ) {\displaystyle A\equiv x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}\equiv 0{\pmod {n}}}
B ≡ x y − y x + z u − z u ≡ 0 ( mod n ) {\displaystyle B\equiv xy-yx+zu-zu\equiv 0{\pmod {n}}}

és hasonlóan

C ≡ D ≡ 0 ( mod n ) . {\displaystyle C\equiv D\equiv 0{\pmod {n}}.}

Ezért A,B,C,D mindegyikét leoszthatjuk n-nel, amiből az adódik, hogy kp négy négyzetszám összege.

Más bizonyítások

A tételnek számos további bizonyítása van. Lehet igazolni geometriai számelméleti módszerekkel, kvaterniók segítségével (Hurwitz). Jacobi 1829-ben a

ϑ 3 ( 0 , x ) = 1 + 2 x + 2 x 4 + 2 x 9 + 2 x 16 + ⋯ {\displaystyle \vartheta _{3}(0,x)=1+2x+2x^{4}+2x^{9}+2x^{16}+\cdots }

függvény negyedik hatványának együtthatóit vizsgálva az elliptikus függvények segítségével mutatta meg a tételt, sőt azt is bebizonyította, hogy ha n természetes szám, akkor

n = x 1 2 + x 2 2 + x 3 2 + x 4 2 {\displaystyle n=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}

egész megoldásainak száma

8 ∑ d | n d {\displaystyle 8\sum _{d|n}d}

ha n páratlan és

24 ∑ d | n , d ≡ 1 ( mod 2 ) d {\displaystyle 24\sum _{d|n,d\equiv 1{\pmod {2}}}d}

ha n páros.

Lásd még

  • Matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap