Átló

A matematikában az átló szónak geometriai jelentése van, de használják még a mátrixoknál is.

Sokszögek

Egy sokszögre nézve az átló két nem szomszédos csúcsot összekötő szakasz. Így egy négyszögnek két átlója van, összekötve a csúcspárokat. Egy konvex sokszög átlói a sokszögön belül futnak. Ez nem vonatkozik a konkáv sokszögekre. Megfordítva: a sokszög akkor és csak akkor konvex, ha átlói a sokszögön belül futnak.

Egy n oldalú sokszögnek mindegyik csúcsából indul átló az összes csúcspontba, kivéve önmagát és a két szomszédos csúcspontot, így egy csúcsból n-3 átló húzható. Ezt kell megszorozni a csúcsok számával:

(n − 3) × n,

viszont mivel az összes átlót kétszer számoltuk, így az átlók száma:

${\displaystyle {\frac {(n-3)\cdot n}{2}}.\,}$

Hossza

A két szomszédos csúcs közötti átló d hossza a koszinusztétellel számítható:

${\displaystyle d={\sqrt {s_{0}^{2}+s_{1}^{2}-2s_{0}s_{1}\cos \varphi _{1}}}}$

ahol s₀ és s₁ a két szomszédos oldal, és φ a közrezárt szög.

A távolabbi csúcsok közötti átlók hossza a koszinusztétel többszöri alkalmazásával számítható, ha adottak az oldalhosszak, és a szomszédos oldalak által közrezárt szögek.

• A két oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:

${\displaystyle d_{3}={\sqrt {(s_{0}-s_{1}\cdot \cos(\varphi _{1})+s_{2}\cdot \cos(\varphi _{1}+\varphi _{2}))^{2}+(s_{1}\cdot \sin(\varphi _{1})-s_{2}\cdot \sin((\varphi _{1}+\varphi _{2}))^{2}}}}$

• A három oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{4}^{2}&=(s_{0}-&s_{1}\cdot \cos(\varphi _{1})+s_{2}\cdot \cos(\varphi _{1}+\varphi _{2})-s_{3}\cdot \cos(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\varphi _{3}))^{2}\\&+(&s_{1}\cdot \sin(\varphi _{1})-s_{2}\cdot \sin(\varphi _{1}+\varphi _{2})+s_{3}\cdot \sin(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\varphi _{3}))^{2}\end{aligned}}}$

• Az n-1 oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:

${\displaystyle d_{n}={\sqrt {\left(s_{0}+\sum _{i=1}^{n-1}(-1)^{i}\cdot s_{i}\cdot \cos \left(\sum _{k=1}^{i}\varphi _{k}\right)\right)^{2}+\left(\sum _{i=1}^{n-1}-(-1)^{i}\cdot s_{i}\cdot \sin \left(\sum _{k=1}^{i}\varphi _{k}\right)\right)^{2}}}}$

Speciális esetek

Speciális esetben a képletek leegyszerűsödnek.

• Egy a és b oldalú paralelogramma átlóinak hossza

${\displaystyle e={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }}}$

és

${\displaystyle f={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \alpha }}}$.

• Az a és b oldalú téglalap átlójának hossza a Pitagorasz-tétellel számítható:

${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$.

• Az a oldalú négyzet átlója:

${\displaystyle d=a{\sqrt {2}}}$.

• Az a oldalú szabályos ötszög átlója:

${\displaystyle d={\frac {a}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$.

• Az a oldalú szabályos hatszögben a szomszédos csúcsok közötti átló hossza

${\displaystyle d=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$.

A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza

${\displaystyle d=2a}$.

Poliéderek

A geometriában megkülönböztetik a poliéderek lapátlóját és testátlóját.

• Egy poliéder lapátlója a poliéder egy lapjának átlója.
• Egy poliéder testátlója egy olyan egyenes szakasz, ami összeköti a test két nem szomszédos csúcsát, és nincs oldallap, ami tartalmazza.

A testátlók száma

A testátlók száma ezzel a képlettel számítható:

${\displaystyle Z={\frac {C(C-1)}{2}}-E-\sum _{i=1}^{L}{\frac {N_{i}(N_{i}-3)}{2}}}$,

.ahol C a csúcsok száma, E az éleké, L a lapoké, és az i-edik lap éleinek száma N_i

Például a paralelepipedonokra:

${\displaystyle C=8,\quad L=6,\quad E=12,\quad N_{i}=4\quad \forall i}$:

${\displaystyle Z={\frac {8(8-1)}{2}}-12-\sum _{i=1}^{6}{\frac {4(4-3)}{2}}}$

${\displaystyle Z=28-12-6\cdot 2=4}$

A poliéder átlóinak hossza

Egy lapátló hossza az adott lap átlójának hosszaként számítható.

• Egy a, b és c élű téglatest testátlójának hossza ${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$.
• Speciális esetként adódik a kocka testátlója: ${\displaystyle d=a{\sqrt {3}}}$.

Általános esetben a testátló hossza is a koszinusztétel többszöri alkalmazásával kapható meg.

Mátrixok

A négyzetes mátrixoknak kétféle átlóját különböztetik meg. A főátló azokat a mátrixban levő elemeket foglalja magába, amelyek sor- és oszlopindexe megegyezik. A mellékátló az első sor utolsó elemét és az utolsó sor első elemét összekötő vonalra eső elemek vektora.

Az egységmátrixban a főátló csupa egyes, a többi helyen nulla áll:

${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

Ebben a mátrixban a mellékátlón állnak egyesek, a többi helyen nullák vannak:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Sokszor egyszerűen átlónak hívják a főátlót, és a vele párhuzamos diagonálisokra eső elemek vektorait, például az alkalmazásokban gyakran megjelenő sávos mátrixok esetén. Nem négyzetes mátrixok esetén nem beszélnek mellékátlóról.

A különböző speciális mátrixoknál a főátló kitüntetett szerephez jut. Egyszerűbb vele meghatározni az egyes típusokat.

A főátlóra eső elemek összege a mátrix nyoma, ami egyenlő a mátrix sajátértékeinek összegével.

Kapcsolódó szócikkek

• Diagonális mátrix
• Tridiagonális mátrix

Források

• Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás
• Stoyan Gisbert – Takó Galina: Numerikus módszerek 1.