Relations d'Ehrenfest

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Ne doit pas être confondu avec Formules d'Ehrenfest.

En mécanique quantique, les relations d’Ehrenfest font le lien avec la mécanique newtonienne.

Formulation

Les relations d’Ehrenfest s’écrivent :

d d t ⟨ r → ⟩ = 1 m ⟨ p → ⟩ {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\langle {\vec {r}}\rangle ={1 \over m}\,\langle {\vec {p}}\rangle }
d d t ⟨ p → ⟩ = − ⟨ ∇ V ( r → ) ⟩ {\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\langle {\vec {p}}\rangle =-\langle \,\nabla V({\vec {r}})\rangle }

L’une dans l’autre, ces relations conduisent à l’expression :

m d 2 d t 2 ⟨ r → ⟩ = − ⟨ ∇ V ( r → ) ⟩ {\displaystyle m\,{\mathrm {d} ^{2} \over {\mathrm {d} t}^{2}}\langle {\vec {r}}\rangle =-\langle \nabla V({\vec {r}})\rangle }

Les notations ⟨ r → ⟩ {\displaystyle \langle {\vec {r}}\rangle } et ⟨ p → ⟩ {\displaystyle \langle {\vec {p}}\rangle } désignent respectivement les valeurs moyennes de la position et de l’impulsion d’une particule dans un état | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle |\psi (t)\rangle } . Formellement, il s’agit de la moyenne des différentes valeurs propres des opérateurs r ^ {\displaystyle {\hat {r}}} et p ^ {\displaystyle {\hat {p}}} associés à la position d’une particule et à son impulsion, compte tenu des probabilités d’occurrence en un certain temps t {\displaystyle t} de ces valeurs propres.

Notes et références

  • C. Cohen-Tannoudji, B. Diu et F. Laloë, Mécanique quantique [détail de l’édition].
  • Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique : + de 6500 termes, nombreuses références historiques, des milliers de références bibliographiques, Louvain-la-Neuve/impr. aux Pays-Bas, De Boeck supérieur, , 976 p. (ISBN 978-2-8073-0744-5, lire en ligne), p. 249.

Articles connexes

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