Gaz parfait relativiste

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Le gaz parfait relativiste est un modèle de théorie cinétique des gaz qui considère un gaz composé de particules relativistes n'interagissant pas entre elles. Contrairement au gaz parfait « classique » qu'il généralise, il prend en compte les particules animées de vitesses proches de celle de la lumière.

Gaz non quantique

Fonction de partition

La fonction de partition du gaz parfait relativiste monoatomique (particules sans degrés de liberté internes comme la rotation ou vibration des particules) est :

Z = 1 N ! { 4 π V ( m c h ) 3 exp ⁡ ( u ) K 2 ( u ) u } N {\displaystyle Z={\frac {1}{N!}}\left\{4\pi V\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}\exp(u){\frac {K_{2}(u)}{u}}\right\}^{N}} ,

où :

u = m c 2 k T {\displaystyle u={\frac {\,mc^{2}}{kT}}} ,
K n ( x ) = 2 n x n Γ ( n + 1 / 2 ) π ∫ 0 + ∞ cos ⁡ ζ d ζ ( ζ 2 + x 2 ) n + 1 / 2 {\displaystyle K_{n}(x)={\frac {2^{n}x^{n}\Gamma (n+1/2)}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{+\infty }{\frac {\cos \zeta \,{\text{d}}\zeta }{(\zeta ^{2}+x^{2})^{n+1/2}}}} (fonction de Bessel modifiée de seconde espèce),

avec

Démonstration[2]

La fonction de partition dans l'ensemble canonique d'un gaz parfait relativiste à 1 particule est :

Z ( T , V , 1 ) = 1 h 3 ∫ V ∫ R 3 exp − E k T d 3 q d 3 p {\displaystyle Z(T,V,1)={\frac {1}{h^{3}}}\int _{V}\int _{\mathbb {R} ^{3}}\exp -{\frac {E}{kT}}\,{\text{d}}^{3}q\,{\text{d}}^{3}p}

où

E = m c 2 { 1 + ( p m c ) 2 − 1 } {\displaystyle E=mc^{2}\left\{{\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}-1\right\}}

est l'énergie cinétique de la particule. En séparant les variables, on obtient

Z ( T , V , 1 ) = 4 π V h 3 exp ⁡ u ∫ 0 + ∞ exp ⁡ [ − u 1 + ( p m c ) 2 ] p 2 d p {\displaystyle Z(T,V,1)={\frac {4\pi V}{h^{3}}}\exp u\int _{0}^{+\infty }\exp \left[-u{\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}\right]p^{2}\,{\text{d}}p} ,

en posant u = m c 2 / k T {\displaystyle u=mc^{2}/kT} . Le changement de variable

ζ = 1 + ( p m c ) 2 {\displaystyle \zeta ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}}

donne

Z ( T , V , 1 ) = 4 π V ( m c h ) 3 ∫ 1 + ∞ ζ ζ 2 − 1 exp ⁡ ( − u ζ ) ⏟ = I d ζ {\displaystyle Z(T,V,1)=4\pi V\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}\underbrace {\int _{1}^{+\infty }\zeta {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}\exp(-u\zeta )} _{=I}\,{\text{d}}\zeta } .

Par parties[3]

I = 2 3 [ ( ζ 2 − 1 ) 3 / 2 exp ⁡ ( − u ζ ) ] 1 + ∞ ⏟ = 0 + 2 3 ∫ 1 + ∞ ( ζ 2 − 1 ) 3 / 2 exp ⁡ ( − u ζ ) d ζ ⏟ = 3 2 K 2 ( u ) {\displaystyle I=\underbrace {{\frac {2}{3}}{\Big [}(\zeta ^{2}-1)^{3/2}\exp(-u\zeta ){\Big ]}_{1}^{+\infty }} _{=0}+{\frac {2}{3}}\underbrace {\int _{1}^{+\infty }\left(\zeta ^{2}-1\right)^{3/2}\exp(-u\zeta )\,{\text{d}}\zeta } _{={\frac {3}{2}}K_{2}(u)}} .

Le résultat se trouve en utilisant l'absence d'interaction entre particules :

Z ( T , V , N ) = Z ( T , V , 1 ) N N ! {\displaystyle Z(T,V,N)={\frac {Z(T,V,1)^{N}}{N!}}}

Variables thermodynamiques

Variables thermodynamiques, dans l'approximation d'un grand nombre de particules.
Variable Expression générale Limite classique Limite ultra-relativiste
énergie interne U[4] N m c 2 [ K 1 ( u ) K 2 ( u ) + 3 u − 1 ] {\displaystyle Nmc^{2}\left[{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}+{\frac {3}{u}}-1\right]} 3 2 N k T {\displaystyle {\frac {3}{2}}NkT} 3 N k T {\displaystyle 3NkT\,}
énergie libre F[4] − N k T { log ⁡ [ 4 π V N ( m c h ) 3 K 2 ( u ) u ] + 1 } − N m c 2 {\displaystyle -NkT\left\{\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]+1\right\}-Nmc^{2}}
enthalpie H N m c 2 [ K 1 ( u ) K 2 ( u ) + 4 u − 1 ] {\displaystyle Nmc^{2}\left[{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}+{\frac {4}{u}}-1\right]} 5 2 N k T {\displaystyle {\frac {5}{2}}NkT} 4 N k T {\displaystyle 4NkT\,}
enthalpie libre G − N k T log ⁡ [ 4 π V N ( m c h ) 3 K 2 ( u ) u ] − N m c 2 {\displaystyle -NkT\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]-Nmc^{2}}
capacité calorifique CV[4] N k u { u + 3 u − K 1 ( u ) K 2 ( u ) [ 3 + u K 1 ( u ) K 2 ( u ) ] } {\displaystyle Nku\left\{u+{\frac {3}{u}}-{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\left[3+u{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\right]\right\}} 3 2 N k {\displaystyle {\frac {3}{2}}Nk} 3 N k {\displaystyle 3Nk\,}
capacité calorifique CP N k u { u + 4 u − K 1 ( u ) K 2 ( u ) [ 3 + u K 1 ( u ) K 2 ( u ) ] } {\displaystyle Nku\left\{u+{\frac {4}{u}}-{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\left[3+u{\frac {K_{1}(u)}{K_{2}(u)}}\right]\right\}} 5 2 N k {\displaystyle {\frac {5}{2}}Nk} 4 N k {\displaystyle 4Nk\,}
potentiel chimique μ[4] − k T log ⁡ [ 4 π V N ( m c h ) 3 K 2 ( u ) u ] − m c 2 {\displaystyle -kT\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]-mc^{2}}
entropie S[4] N k { log ⁡ [ 4 π V N ( m c h ) 3 K 2 ( u ) u ] + u K 3 ( u ) K 2 ( u ) } {\displaystyle Nk\left\{\log \left[{\frac {4\pi V}{N}}\left({\frac {mc}{h}}\right)^{3}{\frac {K_{2}(u)}{u}}\right]+u{\frac {K_{3}(u)}{K_{2}(u)}}\right\}}
pression P[4] N k T V {\displaystyle {\frac {NkT}{V}}} N k T V {\displaystyle {\frac {NkT}{V}}} N k T V {\displaystyle {\frac {NkT}{V}}}

Bibliographie

Ouvrages généraux

  • Walter Greiner, Ludwig Neise, Horst Stöcker, Hubert Curien, H. Aksas (trad. de l'allemand), Thermodynamique et mécanique statistique, Berlin/Heidelberg/Paris etc., Springer, , 532 p. (ISBN 3-540-66166-2)

Références

  1. ↑ Greiner et al. (1999), p. 269-271
  2. ↑ Les grandes lignes suivent Greiner et al. (1999), p. 269-271. L'intégration finale utilise un autre changement de variables.
  3. ↑ (en) Le lien entre l'intégrale et la fonction de Bessel Kn est donné par « Modified Bessel Function of the Second Kind », sur MathWorld, Equation 7
  4. ↑ a b c d e et f Expressions générales données par Greiner et al. (1999), p. 271-273
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