Formules de Binet

Ne pas confondre avec la formule de Binet sur la suite de Fibonacci.

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En physique, en mécanique classique, les formules de Binet sont des expressions de la vitesse et de l'accélération d'un corps soumis à une force centrale telle que la gravitation ou un champ électrostatique. Elles ont été introduites par Laurent Binet^{[réf. nécessaire]}.

Elles permettent d'exprimer, en coordonnées polaires, la position d'un mobile en fonction de l'inverse du rayon vecteur et de ses dérivées par rapport à l'angle formé par celui-ci. En effet, l'expression en fonction du temps est beaucoup plus difficile à établir. En particulier, les formules de Binet permettent de démontrer que, dans un champ de force centrale en ${\frac {K}{r^{2}}}$ , les trajectoires sont des coniques.

Formules de Binet

On considère tout d'abord le cas attractif. En posant $\ \ u:={\frac {1}{r}}\ \$ , en notant $\ \ {\dot {x}}:={\frac {dx}{dt}}\ \$ , $\ \ x':={\frac {dx}{d\theta }}\ \$ , et en exprimant $C=r^{2}{\dot {\theta }}={\frac {L_{O}}{m}}\;$ la constante des aires, d'après la seconde loi de Kepler, on peut montrer que :

{\vec {v}}=-Cu'\;{\vec {e_{r}}}+Cu\;{\vec {e_{\theta }}}

;

{\vec {a}}=-C^{2}u^{2}\left(u''+u\right)\;{\vec {e_{r}}}

L'accélération est donc radiale comme la force à laquelle est soumise le corps. Dans le cas répulsif, les composantes selon e_r seraient positives, le corps étudié s'éloignerait du centre de force.

Démonstration

On a ${\vec {v}}={\dot {(r{\vec {e_{r}}})}}={\dot {r}}{\vec {e_{r}}}+r{\dot {\vec {e_{r}}}}={\dot {\left({\frac {1}{u}}\right)}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {1}{u}}{\dot {\theta }}{\vec {e_{\theta }}}=-{\frac {\dot {u}}{u^{2}}}{\vec {e_{r}}}+{\frac {\dot {\theta }}{u}}{\vec {e_{\theta }}}$

Or ${\dot {u}}={\frac {du}{dt}}={\frac {du}{d\theta }}{\frac {d\theta }{dt}}=u'{\dot {\theta }}$ et $C={\frac {L_{O}}{m}}=r^{2}{\dot {\theta }}={\frac {\dot {\theta }}{u^{2}}}$

Donc ${\vec {v}}=-{\frac {u'}{u^{2}}}{\dot {\theta }}{\vec {e_{r}}}+Cu{\vec {e_{\theta }}}=-Cu'\;{\vec {e_{r}}}+Cu\;{\vec {e_{\theta }}}\;$

De même on dérive ${\vec {v}}$ pour obtenir ${\vec {a}}$ .

${\vec {a}}=C\left(-{\dot {u'\;{\vec {e_{r}}}}}+{\dot {u{\vec {e_{\theta }}}}}\right)=C\left(-{\dot {u'}}{\vec {e_{r}}}-u'{\dot {\theta }}{\vec {e_{\theta }}}+{\dot {u}}{\vec {e_{\theta }}}-u{\dot {\theta }}{\vec {e_{r}}}\right)=C\left(-{\dot {\theta }}u''{\vec {e_{r}}}-u{\dot {\theta }}{\vec {e_{r}}}\right)$ $=-C^{2}u^{2}\left(u''+u\right)\;{\vec {e_{r}}}$

Trajectoires coniques

On considère ici le cas attractif, le cas répulsif donnant exactement le même résultat. En utilisant la seconde loi de Newton, on a :

m{\vec {a}}={\frac {-K}{r^{2}}}\;{\vec {e_{r}}}=-u^{2}K\;{\vec {e_{r}}}

En insérant l'expression de l'accélération et en remplaçant ${\frac {1}{r}}$ par $u$ , puis enfin en projetant selon ${\vec {e_{r}}}$ , on a :

mC^{2}\left(u''+u\right)=K

, soit encore :

u''+u={\frac {K}{mC^{2}}}

Cette équation différentielle s'intègre facilement : c'est un oscillateur harmonique. On obtient :

u(\theta )=A\cos(\theta +\phi )+B

, avec

B={\frac {K}{mC^{2}}}

En revenant à l'expression de r, on a :

r(\theta )={\frac {1}{B+A\cos(\theta +\phi )}}

En exprimant le paramètre $p={\frac {mC^{2}}{K}}$ et l'excentricité $e=pA$ on obtient :

r(\theta )={\frac {p}{1+e\cos(\theta +\phi )}}

C'est bien l'expression d'une conique en coordonnées polaires, dont la nature exacte - parabole, hyperbole ou ellipse - dépend des conditions initiales.