Antilimite

En analyse, l'antilimite désigne la limite (finie) qu'on peut associer à une suite divergente. On peut la calculer par une méthode de sommation, une technique d'accélération de convergence ou par prolongement analytique. Le terme a été introduit par Daniel Shanks en 1955.

Définition

Dans son article de 1955, Daniel Shanks s'intéresse aux transformations de suites de la forme

s n = s + ∑ i = 0 k c i g i ( n ) ,   ∀ n ∈ N . {\displaystyle s_{n}=s+\sum _{i=0}^{k}c_{i}g_{i}(n),\ \forall n\in \mathbb {N} .}

avec s, c0, ..., ck, des constantes et g0, ..., gk, des fonctions. Dans le cas où (sn) ne converge pas, Shanks désigne s comme l'antilimite de la suite et dit que « (sn) diverge de s »[1].

Par prolongement analytique

On se place dans le cas où la suite (sn) est une série divergente :

s n = ∑ k = 0 n a k ⟶ + ∞ {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}\longrightarrow +\infty }

On considère la série génératrice liée :

s n ( x ) = ∑ k = 0 n a k x k {\displaystyle s_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}

Si cette série de fonctions converge sur un disque de convergence de rayon 0 < ρ ≤ 1, il existe une fonction S telle :

∀ x ∈ [ 0 , ρ [ , ∑ n = 0 + ∞ a n x n = S ( x ) . {\displaystyle \forall x\in [0,\rho [,\,\sum _{n=0}^{+\infty }a_{n}x^{n}=S(x).}

Cette fonction S peut être définie hors du disque de convergence, notamment en x = 1 et y avoir une valeur finie. Cette valeur s = S(1) est alors appelée antilimite de la série ∑an.

Exemples

  • Une série divergente peut se voir associer des valeurs finies par des procédés de sommation, comme la série de Grandi
∑ n = 0 + ∞ ( − 1 ) n = 1 2 {\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }(-1)^{n}={\frac {1}{2}}}

ou la série alternée des entiers

∑ n = 1 + ∞ ( − 1 ) n − 1 n = 1 4 {\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }(-1)^{n-1}n={\frac {1}{4}}}
  • La suite de sommes partielles
s n = ∑ k = 1 n ( − 2 ) k − 1 k {\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(-2)^{k-1}}{k}}}

est grossièrement divergente, cependant, on peut reconnaitre le développement en série entière du logarithme naturel :

− 1 x ln ⁡ ( 1 − x ) = ∑ n = 1 + ∞ x n − 1 n {\displaystyle -{\frac {1}{x}}\ln(1-x)=\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {x^{n-1}}{n}}}

pris en x = -2, qui est hors du disque de convergence (le rayon de convergence de cette série vaut 1). Ainsi, 1/2ln(3) est l'antilimite de la série :

∑ n = 1 + ∞ ( − 2 ) n − 1 n = 1 2 ln ⁡ ( 3 ) . {\displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-2)^{n-1}}{n}}={\frac {1}{2}}\ln(3).}

Voir aussi

Références

  1. ↑ (en) Daniel Shanks, « Non‐linear Transformations of Divergent and Slowly Convergent Sequences », Journal of Mathematics and Physics, vol. 34, nos 1-4,‎ (lire en ligne)
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