Cramerin sääntö

Lineaarialgebrassa, Cramerin sääntö on kaava yhtä monta yhtälöä ja tuntematonta sisältävän lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemiseksi. Sääntö pätee aina, kun yhtälöryhmällä on tasan yksi ratkaisu.

Sääntö ilmaisee ratkaisun kullekin lineaarisen yhtälöryhmän tuntemattomalle kahden determinantin osamäärän avulla. Determinantit saadaan yhtälöryhmän kertoimien muodostamasta neliömatriisista ja erityisestä kerroinmatriisista muodostetusta matriisista, missä sopiva kertoimien sarake on korvattu yhtälöryhmän vakioilla.

Cramerin sääntö on nimetty Gabriel Cramerin (1704–1752) mukaan, joka julkaisi säännön mielivaltaiselle tuntemattomien muuttujien määrälle vuonna 1750^[1], joskin Colin Maclaurin julkaisi säännön erikoistapauksen 1748^[2] ja mahdollisesti tunsi säännön jo 1729.^[3][4][5]

Yleinen tapaus

Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää, missä on n tuntematonta ja n riviä.

Yhtälöryhmä voidaan esittää matriisien tulona seuraavasti:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }$,

missä ${\displaystyle n\times n}$ matriisilla ${\displaystyle A}$ on nollasta poikkeava determinantti, ja vektori ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})^{\mathrm {T} }}$ on muuttujien muodostama sarakevektori.

Cramerin säännön mukaan jos tällä lineaarisella yhtälöryhmällä on yksittäinen ratkaisu, niin tuntemattomien arvot saadaan kaavasta:

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n\,}$

missä ${\displaystyle A_{i}}$ on matriisi joka muodostetaan korvaamalla matriisin ${\displaystyle A}$ i:s sarake sarakevektorilla ${\displaystyle \mathbf {b} }$.

Sääntö pätee lineaarisille yhtälöryhmille, jonka kertoimet ja vakiot kuuluvat mihin tahansa kuntaan, ei ainoastaan reaaliluvuille.

On näytetty, että Cramerin sääntö voidaan toteuttaa ajassa O(n³)^[6]. Aikavaativuus on verrattavissa Gaussin-Jordanin eliminaatiomenetelmään. Luokkaan O(n³) pääsemiseksi tarvitaan Cramerin säännön osalta tehokasta determinantin laskemistapaa. Perinteisellä determinantin laskukaavalla lasketaan ${\displaystyle n\times n}$ matriisien determinantteja n+1 kertaa antaen työmääräksi (n+1)!(n-1) laskutoimusta. Näin ollen perinteisellä determinantin laskukaavalla Cramerin säännön aikavaatimus on luokkaa O(n!n) ^[7].

Todistus

Olkoon ${\displaystyle A}$ kertoimien matriisi ja alimatriisi ${\displaystyle M_{ij}}$ matriisi, joka on saatu poistamalla matriisista ${\displaystyle A}$ i:s rivi ja j:s sarake.

Määritellään alkion ${\displaystyle a_{ij}}$ kofaktori

${\displaystyle (-1)^{i+j}det(M_{ij})=A_{ij}}$.

Esitellään vielä uusi matriisi korvaamalla matriisin A alkiot niiden kofaktoreilla ja transponoimalla saatu matriisi. Tätä matriisia kutsutaan adjungoiduksi matriisiksi ja se merkitään

${\displaystyle \operatorname {adj} A={\begin{bmatrix}A_{11}&\cdots &A_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&\cdots &A_{nn}\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }}$.

Olkoon edelleen ${\displaystyle det(A)\neq 0}$, jolloin sillä on käänteismatriisi. Kääntyvälle matriisille pätee:

${\displaystyle A\left({\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A\right)=I}$ ja ${\displaystyle \left({\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A\right)A=I}$.

Nyt käänteismatriisi ${\displaystyle A^{-1}}$ voidaan esittää A:n determinantin käänteisluvun ja ${\displaystyle A}$:n adjungoidun matriisin tulona.

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}=A^{-1}\mathbf {b} ={\begin{bmatrix}{\frac {A_{11}}{det(A)}}&{\frac {A_{21}}{det(A)}}&\dots &{\frac {A_{n1}}{det(A)}}\\{\frac {A_{12}}{det(A)}}&{\frac {A_{22}}{det(A)}}&\dots &{\frac {A_{n2}}{det(A)}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\{\frac {A_{1i}}{det(A)}}&{\frac {A_{2i}}{det(A)}}&\dots &{\frac {A_{ni}}{det(A)}}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\{\frac {A_{1n}}{det(A)}}&{\frac {A_{2n}}{det(A)}}&\dots &{\frac {A_{nn}}{det(A)}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}}$.

Koska kyseessä on matriisitulo, niin tämä tarkoittaa sitä, että

${\displaystyle x_{i}={\frac {A_{1i}}{det(A)}}b_{1}+{\frac {A_{2i}}{det(A)}}b_{2}+\dots +{\frac {A_{ni}}{det(A)}}b_{n},{\text{ kun }}i=1,2,3,\dots ,n}$.

Olkoon nyt

${\displaystyle A_{i}={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1i-1}&b_{1}&a_{1i+1}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2i-1}&b_{1}&a_{2i+1}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{ni-1}&b_{1}&a_{ni+1}&\dots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}}$.

Jos selvitämme determinantin ${\displaystyle det(A_{i})}$ kehittämällä i:nnen sarakkeen suhteen, niin huomaamme, että

${\displaystyle det(A_{i})=A_{1i}b_{1}+A_{2i}b_{2}+\dots +A_{ni}b_{n}}$.

Tällöin

${\displaystyle x_{i}={\frac {det(A_{i})}{det(A)}}{\text{, kun }}i=1,2,\dots ,n}$. ^[8]

Esimerkkejä pienillä yhtälöryhmillä

Tarkastellaan lineaarista yhtälöryhmää ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax+by&={\color {red}e}\\cx+dy&={\color {red}f}\end{matrix}}\right.\ }$

Yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}.}$

Oletetaan, että ad − bc ei ole 0. Nyt x ja y voidaan löytää Cramerin säännöllä:

${\displaystyle x={\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc}}$

ja

${\displaystyle y={\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}.}$

Säännöt 3×3-matriiseille ovat samankaltaiset. Olkoon ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}ax+by+cz&={\color {red}j}\\dx+ey+fz&={\color {red}k}\\gx+hy+iz&={\color {red}l}\end{matrix}}\right.}$.

Yhtälöryhmä voidaan esittää matriisimuodossa ${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}.}$

Arvot muuttujille x, y ja z voidaan löytää seuraavasti:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},{\text{ ja }}z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}.}$

Katso myös

• Matriisi
• Lineaarinen yhtälöryhmä

Lähteet

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Helsinki: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0.